निर्देशांक ज्यामिति

RBSE Important questions for secondary examination subject Maths  – Coordinate Geometry
निर्देशांक ज्यामिति
1. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
2. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (–3, –2), (5, –2) और (5, 4) हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है।
3. बिन्दुओं (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
4. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
5. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
6. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
7. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
8. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, a), (–a, –a) तथा (–√3a, √3a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
9. यदि बिन्दुओं (3, k) तथा (k, 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियां बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
10. यदि समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष A(–2, –1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) हों, तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
12. यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a हो, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
13. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः ( acosA, bsinA) और ( – asinA,  bcosA) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि OP² + OQ² = a² + b², जहाँ O मूल बिन्दु है।
14. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष क्रमशः (–1, 0), (3, 1) तथा (2, 2) हैं। तब चतुर्भुज का चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
15. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
16. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
17. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
18. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
19. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
20. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे  AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
21. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
22. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
23. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
Coordinate Geometry Notes
Important Questions
Model Paper

बिन्दुपथ व समरूपता

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण प्रश्न
बिन्दुपथ
1. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
2. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ क्या होता है?
3. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
4. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
5. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
6. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
       (1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
        (2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
8. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
9. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
10. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
11. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
12. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
13. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
14. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
15. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
16. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
17. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
18. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
19. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
20. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
21. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
22. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
23. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
24. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
25. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
26. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
27. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
28. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
29. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE  और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
समरूपता
1. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
2. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
3. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 9 : 16 है, तो इनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
4. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL.     (ii) DL/DP = AL/DC
5. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
6. ΔABC में DE || BC है तथा AD/DB = 3/5 है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
7. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
             EX/BE = 1/2 है।
8. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
10. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
11. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
12. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
         AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
13. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
14. ΔABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि BD = CE है। यदि ㄥB = ㄥC हो तो दर्शाइए DE || BC
15. 12 मीटर लम्बाई वाले उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 8 मीटर है उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 56 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
16. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
17. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज AB || DC है। असमान्तर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E और F इस प्रकार स्थित है कि EF भुजा AB के समान्तर है दर्शाइए कि AE/ED = BF/FC.
18. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
19. किसी ΔABC में DE || BC है यदि AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 और EC = x – 1 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
20. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
21. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करेगी।
22. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
23. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
24. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी.  तथा AE = 1.8 सेमी.
(ii) AD = 10.5  सेमी.,  BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
25. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
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समान्तर श्रेणी

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा विषय गणित के महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
समान्तर श्रेणी
1. A. P. : 13, 8, 3, ..... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. एक समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात करो जिसका nवाँ पद an= 9 – 5n है।
3. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
4. एक समान्तर श्रेणी का तीसरा पद 12 है और 50 वाँ पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
5. 250 से 1000 तक की 3 से भाज्य प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
6. यदि किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
7. संख्याओं की निम्नलिखित सूची के लिए समान्तर श्रेणी की जाँच कीजिए। यदि समान्तर श्रेणी है तो इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए। इसके अगले चार पद ज्ञात कीजिए।
(i) 2, 5/2, 3, 7/2, .......
(ii) –½, –½, –½, –½,.......
8. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 31 हो तथा 15वाँ पद, 11वें पद से 16 अधिक हो, तो प्रथम पद तथा सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
9. समान्तर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ........., 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
10. समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27, 39, ...... का कौनसा पद 639 है ?
11. यदि समान्तर श्रेणी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो, तो दर्शाइए कि mn पदों का योग ½(mn + 1) होगा।
12. उस A. P. के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 3 + 4n है।
13. योगफल ज्ञात कीजिए 3 + 11 + 19 + ............ + 803
14. एक समान्तर श्रेणी के पहले 51 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय और तृतीय पद क्रमशः 14 व 18 है।
15. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
16. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
17. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
18. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
19. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
20. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
21. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
22. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
23. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
24. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
25. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
26. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
          An = 7 – 3n
27. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
28. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
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दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं

दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
          3x – 2y  ≤ x + y – 8
2. आलेखीय विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए –
      2x + 3y = 13 ; 5x – 2y = 4
3. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
      3x – y = 2 ; 2x – 3y = 5
4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
           x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
5. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
           x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
6. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
2x – y = 4;  x + y = –1
7. पाँच वर्ष पश्चात, किसी पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का तीन गुना होगी। पाँच वर्ष पूर्व, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का सात गुना थी, तब उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
8. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
          3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
9. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए 2x + 3y = 13 तथा 5x – 2y = 4 इसकी सहायता से a का मान ज्ञात करो। जबकि 5x – 3y = a है।
10. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
          4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
11. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
          2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
12. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0  का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
13. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
            x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
14. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y –  अक्ष को काटती हैं।
            3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
15. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
          2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
16. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
17. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
18. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
          x + y = 10  तथा x – y = 12
19. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
          x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण नोट्स  विषय गणित
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बहुपद

बहुपद
1. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
3. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
4. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
5. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
6. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
        f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
7. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण √3x² + 10x + 7√3 = 0 को हल कीजिए।
8. द्विघात बहुपद 3x² + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
9. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
10. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण 4x² – 4a²x + (a4 – b4) = 0 को हल कीजिए।
11. द्विघात समीकरण 1/x – 1/(x–2) = 3, x ≠ 0, 2 के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
12. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः – ¼ व ¼ हैं।
13. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
14. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
15. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
           x² + (√3 + 1)x + √3
16. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
17. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
18. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
19. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
20. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
21. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
22. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
बहुपद से संबंधित महत्वपूर्ण नोट्स
बहुपद
द्विघात समीकरण
राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु गणित विषय के महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
महत्वपूर्ण प्रश्न
मॉडल पेपर कक्षा 10 विषय गणित
मॉडल पेपर

संख्या पद्धति Number System

राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, अजमेर द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा विषय गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न की श्रृंखला में संख्या पद्धति के प्रश्न
संख्या पद्धति
1. सिद्ध कीजिए कि 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।
2. परिमेय संख्या 17/8 को बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये दशमलव प्रसार सांत में लिखिए।
3. 81 और 237 का महत्तम समापवर्तक (HCF) यूक्लिड विभाजन विधि का प्रयोग कर ज्ञात कीजिए।
4. 48 और 105 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
6. संख्या 49/500 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
7. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय संख्याएं है।
       3√2
8. लम्बी विभाजन प्रक्रिया का उपयोग न करते हुए बताइए कि इस परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है।  15/1600
9. पाँच घण्टियाँ 2, 4, 6, 8 और 10 सेकण्ड के अन्तराल से बजती हैं तथा वे एक साथ बजना प्रारम्भ होती है तो बताइये 20 मिनट में वे कितनी बार साथ बजेंगी ?
10. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H. C. F ज्ञात कीजिए।
11. दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप का होता है। जहाँ q कोई पूर्णांक है।
12. प्रमाणित कीजिए कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।
13. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 2053 को इस प्रकार विभाजित करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।
14. संख्या - युग्म 420, 130 का यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।
15. उस बड़े से बड़े धनात्मक पूर्णांक को ज्ञात कीजिये जो 396, 436 और 542 को विभाजित करने के पश्चात शेषफल क्रमशः 5, 11 और 15 रहता है।
16. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक शून्य पर समाप्त हो सकती है ?
17. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 852, 1065 तथा 1491 को भाग दिया जाए तो शेषफल शून्य प्राप्त हो।
18. यदि a और 18 का ल. स. 36 हो तथा a और 18 का म. स. 2 हो, तो a का मान क्या होगा?
19. सिद्ध कीजिए कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
20. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए
      (a) 12, 51, 21.        (b) 6, 72, 120
21. परिमेय संख्या 37/(2 × 5²) के दशमलव प्रसार में दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अंत होगा ?
22. परिमेय संख्या 14588/625 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
23. निम्नलिखित संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
       3825
24. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
       24, 15 तथा 36
25. संख्या 3/625 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती। इसे दशमलव के रूप में लिखें।
26. 95 और 152 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
27. यदि H. C. F.  ( 306, 657 ) = 9, तो L. C. M. ( 306, 657 ) ज्ञात कीजिए।
28. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया बताइए कि परिमेय संख्या 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है अथवा असांत।
29. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि परिमेय संख्या 129/(2² × 5³ × 7³) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
30. यदि p/q, ( q ≠ 0 ) एक परिमेय संख्या है, तो q पर क्या प्रतिबन्ध होगा, जबकि p/q एक सांत दशमलव हो ?
31. 4050 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
32. परिमेय संख्या 34.12345 के हर को अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में लिखिए।
33. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 247 और 2055 को इस प्रकार विभाजन करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 प्राप्त हो।
34. एक आयताकार बरामदा 18 मी. 72 सेमी.  लम्बा तथा 13 मी.  20 सेमी. चौड़ा है।  इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी है। इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
35. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q + 1 के रूप में होता है जहां q एक धनात्मक पूर्णांक है।
36. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक को 1032x – 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
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