प्रधानाध्यापक माध्यमिक शिक्षा भर्ती

RPSC Headmaster Secondary Education
Scheme and syllabus for HM examination
राजस्थान लोक सेवा आयोग द्वारा माध्यमिक शिक्षा विभाग में प्रधानाध्यापकों के 1200 पदों पर भर्ती के लिए आवेदन प्रक्रिया शुरू की जा रही है। प्रधानाध्यापकों के पदों के लिए 9 अप्रैल से अॉन लाइन आवेदन की प्रक्रिया शुरू होगी। आयोग ने बुधवार को इस संबंध में विस्तृत दिशा-निर्देश जारी किए। आयोग उपसचिव दीप्ति शर्मा के अनुसार माध्यमिक शिक्षा विभाग में प्रधानाध्यापकों के पदों के लिए 8 मई तक अॉन लाइन आवेदन किए जा सकेंगे।
संक्षिप्त विज्ञापन
आयोग द्वारा माध्यमिक शिक्षा विभाग हेतु प्रधानाध्यापक - माध्यमिक विद्यालय के पदों पर भर्ती हेतु राजस्थान शिक्षा सेवा नियम, 1970 के अन्तर्गत अॉनलाइन आवेदन आमंत्रित किए गए हैं। पद स्थाई है तथा विभाग से प्राप्त कुल रिक्त /आरक्षित (पदों में कमी/वृद्धि की जा सकती है) की संख्या निम्नानुसार है :-
कुल पद 1200
अनारक्षित
   सामान्य 420
   सा. महिला 120
   विधवा 48
   परित्यकता 12
अनुसूचित जाति
   सामान्य 135
   सा. महिला 38
   विधवा 16
   परित्यकता 3
अनुसूचित जनजाति
   सामान्य 101
   सा. महिला 29
   विधवा 12
   परित्यकता 2
अन्य पिछड़ा वर्ग
   सामान्य 177
   सा. महिला 50
   विधवा 20
   परित्यकता 5
M. B. C.
   सामान्य 9
   सा. महिला 2
   विधवा 1
   परित्यकता 0
दण्डवत आरक्षण
विशेष योग्यजन 36
   B/LV - 12
   HI - 12
   LD/CP (OL, OA, BL) - 12
पदों का वर्गीकरण
1. शैक्षणिक योग्यता
   (a) Bachelor's degree with Degree or diploma in Education.
   (b) Minimum five years' teaching experience in any school.
2. अनिवार्य योग्यता
Working knowledge of Hindi written in Devnagari Script and knowledge of Rajasthani Culture.
आवश्यक नोट :-
   (1) उपर्युक्त योग्यता में बताई गई डिग्री या डिप्लोमा भारत में विधि द्वारा संस्थापित किसी विश्वविद्यालय की अथवा सरकार द्वारा मान्य उसके समकक्ष किसी विदेशी विश्वविद्यालय का होना चाहिए।
   (2) जिन अभ्यर्थियों ने बी. एस. टी. सी. एवं शिक्षा में स्नातक (बी. एड. डिग्री) की योग्यता प्राप्त कर ली है, ऐसे अभ्यर्थियों का बी. एस. टी. सी. योग्यता प्राप्त करने के पश्चात का अध्यापन अनुभव प्रधानाध्यापक के पद हेतु मान्य होगा।
   (3) आवेदकों को इन पदों हेतु वांछित अध्यापन अनुभव आवेदन - पत्र प्राप्ति की अन्तिम दिनांक तक प्राप्त होना आवश्यक है अन्यथा अपात्र।
   (4) निजी शिक्षण संस्थान एवं सरकारी सेवा का अध्यापन अनुभव जिला शिक्षा अधिकारी द्वारा प्रति हस्ताक्षरित होने पर ही मान्य होगा।
विस्तृत विज्ञापन
3. आयु : - दिनांक 01.07.2018 को न्यूनतम 24 वर्ष एवं अधिकतम 40 वर्ष से कम।
आयु सीमा में छूट
4. वेतनमान : - Pay Matrix Level (L–14)
चयन प्रक्रिया : -
   अभ्यर्थियों का चयन प्रतियोगी परीक्षा के माध्यम से किया जायेगा।
परीक्षा योजना व पाठ्यक्रम :-
   इन पदों हेतु परीक्षा वस्तुनिष्ठ (Objective) रूप में (Offline /Online) ली जायेगी। सभी प्रश्न पत्र वस्तुनिष्ठ प्रकार के होंगे। पाठ्यक्रम आयोग की वेबसाईट पर शीघ्र ही जारी कर दिया जाएगा।
संभावित पाठ्यक्रम
परीक्षा का स्थान एवं माह :-
   इन पदों की परीक्षा राजस्थान राज्य के जिला/संभागीय मुख्यालयों पर आयोजित किए जाने की संभावना है, जिसकी तिथि आवेदन की अंतिम तिथि के उपरान्त यथाशीघ्र रखी जाएगी। परीक्षा हेतु केन्द्र का आवंटन प्रशासनिक व्यवस्थाओं को दृष्टिगत रखते हुए किया गया है। आयोग यदि चाहे तो उक्त परीक्षा केन्द्र में परिवर्तन कर सकता है।
आवेदन अवधि : -
   दिनांक 09-04-2018 से दिनांक 08-05-2018 रात्रि 12-00 बजे तक।
आवेदन प्रक्रिया :-
   1. अभ्यर्थियों द्वारा आयोग की वेबसाईट https://rpsc.rajasthan/gov.in/applyonline से एस. एस. ओ. (SSO) पोर्टल पर लोगिन कर State Recruitment Portal सर्विस का चयन करना होगा।
   2. State Recruitment Portal पर आधार आधारित One Time Registration (OTR) कर अभ्यर्थी परीक्षा हेतु आवेदन कर सकता है।
   3. अभ्यर्थियों द्वारा परीक्षा शुल्क परीक्षा हेतु आवेदन पत्र भरकर State Recruitment Portal पर उपलब्ध भुगतान सुविधा से भुगतान कर आवेदन क्रमांक जनरेट करना होगा।
   4. अभ्यर्थी परीक्षा शुल्क जमा कराने हेतु अन्य किसी पोर्टल अथवा सुविधा का उपयोग न करें।
   5. अभ्यर्थियों को उक्त परीक्षा शुल्क जमा करने की सुविधाओं में किसी भी प्रकार का शुल्क रिफण्ड नहीं किया जायेगा।
   6. अभ्यर्थी परीक्षा शुल्क का भुगतान आवेदन की अन्तिम दिनांक से पूर्व सुनिश्चित करें ताकि किसी प्रकार की भुगतान संबंधित Transaction का लम्बित सत्यापन समय रहते हो सके।
अॉनलाइन संशोधन :-
   अॉनलाइन आवेदन पत्र में संशोधन दिनांक 09-05-2018 से दिनांक 15-05-2018 रात्रि 12-00 बजे तक।
Scheme of examination and syllabus for the post of Headmaster Secondary School 
(1) The examination shall carry 600 marks.
(2) There will be two papers. Both the Papers shall be of 300 marks each. Duration of both the Papers shall be Three hours each.
(3) All the question in both the Papers shall be Multiple Choice Type questions.
(4) Negative marking shall be applicable in the evaluation of answers. For every wrong answer one-third of the marks prescribed for that particular question shall be deducted.
 Explanation:- Wrong answer shall mean an incorrect answer or multiple answers.
(5) Subjects included in both the papers and the marks given to them are shown in the tables below:
Paper-I General Studies 
Duration: 3 Hours
SUBJECT No. of Questions Total Marks
1 Rajasthan, Indian and World history with special emphasis on Rajasthan culture and Indian National Movement.   40 80
2 Indian Polity, Indian Economics with special emphasis on Rajasthan. 40 80
3 Use of Computers and Information Technology in Teaching. 15 30
4 Rajasthan, India, World Geography. 30 60
5 General Science. 25 50
Total 150 300
Paper-II General awareness about education and educational administration
Duration: 3 Hours
SUBJECT No. of Questions Total Marks
1 Mental Ability Test. 24 48
2 Statistics (Secondary Level), Mathematics (Secondary Level). 24 48
3 Educational Psychology, Pedagogy, Educational Management at School level, Educational
Scenario in Rajasthan. 30 60
4 Right to children to Free and Compulsory Education Act. 2009, Rajasthan Service Rules, CCA Rules, GF&AR .  24 48
5 Current Affairs. 24 48
6 Language ability test:- Hindi, English. 24 48
Total 150 300
Scheme of examination and syllabus for the post of Headmaster Secondary schools
Old Paper
Paper - I
Paper -II
Paper I

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
Q. 1. एक रोलर की लम्बाई 2.5 मीटर और व्यास 1.4 मीटर है। 10 चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्र समतल करेगा ?
Q. 2. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Q. 3. एक अर्द्ध गोले की त्रिज्या 7 से. मी. है, इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 4. दो लम्बवृत्तीय बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 तथा ऊँचाइयों का अनुपात 5 : 4 है, तो दोनों बेलनों के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Q. 5. एक सन्दूक की माप 3 मी. × 2 मी. × 1.80 मी. है। बाहर की ओर सभी फलकों पर ₹ 12 प्रति वर्ग मीटर की दर से वार्निश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Q. 6. 7 m व्यास वाला एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m × 2.5 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। कुएँ की गहराई ज्ञात कीजिए।
Q. 7. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 8. एक शंकु एक अर्ध गोला व एक बेलन एक ही आधार व ऊँचाई पर बने हैं। उनके आयतनों का अनुपात लिखिये।
Q. 9. धातु के तीन घनों जिनके कोर क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी व 5 सेमी है, को पिघलाकर घन बनाया गया है घन की ज्ञात कीजिए।
Q. 10. 6 सेमी. व्यास का एक गोला 12 सेमी. व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है, डाला जाता है। बर्तन में पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा ?
Q. 11. यदि एक बेलन का आयतन 448π घन सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है तो बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 12. यदि 11 सेमी × 3.5 सेमी × 2.5 सेमी मोम के एक घनाभ से 2.8 सेमी व्यास की एक मोमबत्ती बनाई जाती है। मोमबत्ती की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Q. 13. एक बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः 1650 घन सेमी. और 660 वर्ग सेमी. है। बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 14. 1 सेमी त्रिज्या और 2 सेमी लम्बी ताँबे की एक छड़ को एक समान चौड़ाई वाले 18 मीटर लम्बे एक तार के रूप में बदला जाता है। तार की मोटाई ज्ञात कीजिए।
Q. 15. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 : 2 है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी.² है तो उसकी कोरों की माप ज्ञात कीजिए।
Q. 16. एक शंकु की ऊँचाई 24 सेमी तथा वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 वर्ग सेमी है, शंकु की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 17. 9 मीटर ऊँचे शंकु के आकार के टेन्ट के आधार की परिधि 44 मीटर है। इसके अन्दर की वायु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 18. 10 मीटर लम्बे, 8 मीटर चौड़े और 6 मीटर ऊँचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है।
Q. 19. 1.4 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 20. एक दीवार की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 30 सेमी और 3 मीटर है। दीवार बनाने में 20 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी ?
Q. 21. 1.4 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 22. एक सीसे के ठोस आयत फलकी की माप क्रमशः 66 सेमी, 42 सेमी और 21 सेमी है। ज्ञात कीजिए कि इसको पिघलाकर इससे 4.2 सेमी व्यास की कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं ?
Q. 23. एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 वर्ग सेमी तथा ऊँचाई 15 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 24. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 9 है। उनकी त्रिज्याओं एवं आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Q. 25. घन के एक पृष्ठ का परिमाप 28 सेमी है, तो घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 26. एक शंकु के आकार के टेन्ट की ऊँचाई 14 मीटर है तथा आधार का क्षेत्रफल 346.5 मीटर² है। यह टेन्ट 1.5 मीटर चौड़े केनवास से बना हुआ है तो केनवास की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Q. 27. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Q. 28. एक ठोस पिण्ड का बायाँ भाग बेलनाकार और दायाँ भाग शंकुनुमा है। यदि बेलन का व्यास 14 सेमी. तथा लम्बाई 40 सेमी. और शंकु का व्यास 14 सेमी. तथा उसकी ऊँचाई 12 सेमी. हो तो ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 29. 20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया। इससे निकली मिट्टी से 22 मी. × 14 मी. माप का एक चबूतरा बनाया गया। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 30. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है जिसको प्रतिदिन प्रतिव्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर माप वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन तक के लिए पर्याप्त होगा ?
Q. 31. एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 8 सेमी. और आधार की त्रिज्या 6 सेमी. है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 32. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 33. एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई तथा त्रिज्या का अनुपात 7 : 4 है। यदि इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 792 वर्ग सेमी. हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 34. 42 सेमी. कोर के घन से बड़े से बड़ा लम्बवृत्तीय शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 35. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Q. 36. धातु के एक गोले का व्यास 6 सेमी. है। गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ - परिच्छेद वाला तार बनाया गया है। यदि तार की लम्बाई 36 मीटर हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 37. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक-तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 38. पानी से भरी हुई एक अर्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मीटर है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जाएगी ?
Q. 39. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 19 सेमी. है तथा विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी. है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 40. एक शंकु की ऊँचाई 28 सेमी. तथा आधार की त्रिज्या 21 सेमी. है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 41. तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. और 1 सेमी. हैं। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 42. 7 सेमी. व्यास वाला एक गोला पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। बर्तन के आधार का व्यास 14 सेमी. है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो, तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा ?
Q. 43. एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm. × 10 cm. × 3.5 cm. हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm. है और गहराई 1.4 cm. है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q. 44. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 45. एक घनाभ की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 6 सेमी है। इस घनाभ को पिघलाकर 3 सेमी वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं ?
Q. 46. एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 सेमी² है तथा इसकी ऊँचाई 15 सेमी है, इसका वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Q. 47. एक माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी है। इस तरह की 12 डिब्बियों के एक पैकिट का आयतन क्या होगा ?
Surface area and Volume Notes
Important Questions maths
Top most Important questions

वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल

Circumference and area
वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल
Q. 1. एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 4.2 मीटर है। पार्क के चारों ओर 1.4 मीटर चौड़ा रास्ता बना हुआ है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 2. एक वृत्त के चाप की लम्बाई 4 सेमी और त्रिज्या 6 सेमी है। वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 3. एक वृत्ताकार खेत पर 24 रु. प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5280 रु. है। इस खेत की 0.50 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Q. 4. एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Q. 5. किसी वृत्त की परिधि व त्रिज्या का अन्तर 74 सेमी है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 6. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है और त्रिज्यखण्ड का कोण 90° है वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई तथा उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 7. 5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण बनाती है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 8. एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। यदि इसके लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 231 cm² है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 9. यदि एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 10. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 44 cm है।
Q. 11. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए –
       (i) चाप की लम्बाई
       (ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
       (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Q. 12. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में कोण 120° के संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 13. 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 14. एक घड़ी के घण्टे की सुई 6 सेमी. लम्बी है। 90 मिनट में इस सुई द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 15. एक अर्धवृत्ताकार प्लाट की त्रिज्या 21 मीटर है। इसका क्षेत्रफल व परिमाप ज्ञात कीजिए।
Q. 16. एक साईकिल का पहिया 11 km चलने में 5000 चक्कर लगाता है तो पहिए का व्यास ज्ञात कीजिए।
Q. 17. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो जबकि वृत्त की परिधि 176 सेमी है।
Q. 18. 100 चक्कर में एक स्कूटर का पहिया 88 मीटर की दूरी तय करता है। इस पहिए की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 19. वृत्त के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण 50° है। यदि चाप की लम्बाई 5π सेमी. हो, तो चाप द्वारा बने लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 20. एक वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा मार्ग बना हुआ है। मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q. 21. एक घड़ी की मिनट की सुई 10.5 सेमी. लम्बी है। मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
महत्वपूर्ण बिन्दु
गणित के महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
मॉडल पेपर

ज्यामितीय रचनाएं

Important Geometric Constructions for
RBSE secondary examination
रचनाएँ
Q. 1. एक 4 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श - रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए। जहाँ PA तथा PB के मध्य कोण 65° है।
Q. 2. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Q. 3. ΔABC की रचना कीजिए जिसमें भुजा BC = 3.8 सेमी., ∠B = 60° तथा ∠C = 55° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
Q. 4. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 6 सेमी., BC = 4 सेमी. तथा कोण B = 120° हो। इस त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए।
Q. 5. 5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 13 cm दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श-रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
Q. 6. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श-रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 70° के कोण पर झुकी हो।
Q. 7. ΔABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए, जबकि BC = 5.8 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠B = 55° हो।
Q. 8. 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Q. 9. 4.6 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए। क्या इसका परिकेन्द्र एवं अन्त:केन्द्र सम्पाती है? क्यों, कारण सहित बताइए।
Q. 10. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
Q. 11. एक 3.2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए उस पर दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती है।
Q. 12. 8 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिये। A को केन्द्र मानकर 3 सेमी का एक वृत्त खींचिये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म खींचिये।
Q. 13. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाकर केन्द्र O पर OA व OB त्रिज्याएं परस्पर 120° कोण बनाती है की रचना कर A व B पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
Q. 14. एक 2.8 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए, जिसके केन्द्र से 4.3 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन्हें मापकर दोनों बराबर है की जाँच कीजिए।
Q. 15. एक ΔABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी, ∠B = 40°, ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
Q. 16. एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों ।
Q. 17. किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएं OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATB को मापिए।
Q. 18. दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की है, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर है।
Q. 19. 5 सेमी., 4.5 सेमी. एवं 7 सेमी. भुजाओं वाले त्रिभुज का परिकेन्द्र कहाँ स्थित होना चाहिए की पुष्टि रचना के द्वारा कीजिए। साथ ही इसके परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए।
Important Notes
Important Questions
Model Paper

बिन्दुपथ, वृत्त व स्पर्श रेखाएँ

महत्वपूर्ण नोट्स माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा विषय गणित हेतु परीक्षा उपयोगी प्रश्न बैंक
बिन्दुपथ
Q. 1. एक त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AD = 9 सेमी, GE = 4.2 सेमी और GC = 6 सेमी, तो AG, BE और FG की लम्बाइयों का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 2. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 3. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
Q. 4. दो बिन्दुओं में से होकर गुजरने वाले वृत्तों के केन्द्रों का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 5. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
Q. 6. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ क्या होता है?
Q. 7. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 8. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
Q. 9. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 10. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
       (1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
        (2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 11. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
Q. 12. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
Q. 13. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 14. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
Q. 15. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
Q. 16. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
Q. 17. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
Q. 18. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 19. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
Q. 20. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
Q. 21. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
Q. 22. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
Q. 23. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 24. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
Q. 25. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
Q. 26. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 27. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
Q. 28. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
Q. 29. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
Q. 30. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
वृत्त
Q. 1. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की दो भुजाएँ समान्तर हो, तो सिद्ध कीजिए कि शेष भुजाएँ बराबर होगी और विकर्ण भी बराबर होंगे।
Q. 2. वृत्त के केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाओं का अनुपात लिखिए।
Q. 3. 10 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त में, दो जीवाएँ AB = AC = 12 सेमी हों, तो जीवा BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Q. 4. किसी अर्द्धवृत्त में बना कोण क्या कहलाता है ?
Q. 5. सिद्ध करो कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
Q. 6. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
Q. 7. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
Q. 8. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
Q. 9. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
Q. 10. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
Q. 11. एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
Q. 12. सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत के केन्द्र से होकर गुजरता है।
Q. 13. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠ADC = ∠BCD है। सिद्ध कीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Q. 14. यदि दो वृत्त, एक दूसरे को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लम्ब समद्विभाजक होती है।
Q. 15. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
Q. 16. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
Q. 17. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 18. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
Q. 19. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
Q. 20. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
Q. 21. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
Q. 1. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
Q. 2. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श-रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Q. 3. एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श-रेखा की लम्बाई 15 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 17 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 4. सिद्ध करो कि वृत्त के बहार स्थित बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लम्बाई की होगी।
Q. 5. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी  हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
Q. 6. एक O केन्द्र वाला वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को अन्तःस्पर्श करता है यदि AB को स्पर्श बिन्दु 3 : 1 भागों में विभाजित करे तथा AB = 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 7. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
Q. 8. किसी वृत्त के केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु P से खींची हुई स्पर्श रेखाएँ PA व PB वृत्त को क्रमशः A व B पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है।
Q. 9. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
Q. 10. एक वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = BC + DA.
Q. 11. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
Q. 12. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
Q. 13. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
Q. 14. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
        ∠BAC = 2∠OBC
Q. 15. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
Q. 16. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
Q. 17. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
Q. 18. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
Q. 19. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो  ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
महत्वपूर्ण नोट्स
महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
मॉडल पेपर

ऊँचाई और दूरी

राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा विषय गणित के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न - Height and Distance
ऊँचाई और दूरी
Q. 1. एक मीनार के आधार से 9 मीटर तथा 25 मीटर दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 2. यदि एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : √3 हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
Q. 3. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
Q. 4. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी.  हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 5. एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
Q. 6. 50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
Q. 7. किसी समय किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है उस समय सूर्य का उन्नतांश कोण ज्ञात करो।
Q. 8. आँधी आने पर एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 60° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 3 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 9. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
Q. 10. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
Q. 11. 10 मीटर ऊँची मीनार की परछाई क्या होगी जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 30° हो ?
Q. 12.100 मीटर ऊँची एक मीनार की चोटी और उसके आधार से एक चट्टान की चोटी के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° है। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 13. एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 14. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 15. यदि किसी मीनार के आधार से a तथा b ( a > b) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° व 60° हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 16. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 17. एक स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण आधार तल के एक बिन्दु पर 60° है। यदि यह बिन्दु स्तम्भ के आधार बिन्दु से 10√3 मीटर की दूरी पर हो तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 18. 100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित है कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में है। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 19. एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ तेज हवा से इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूने लगता है और जमीन के साथ 60° का कोण बनाता है। ज्ञात करें कि तेज हवा से पेड़, जमीन से कितनी ऊँचाई से टूटा है ?
Q. 20. 10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q. 21. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° है। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Q. 22. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
Q. 23. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
Q. 24. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने - सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Important notes Height and Distance
Maths Question Bank
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त्रिकोणमिति

RBSE SECONDARY EXAMINATION IMPORTANT QUESTIONS - MATHS
त्रिकोणमितीय अनुपात
Q. 1. सिद्ध कीजिए –
(sec²30°+cosec²45°)(2cos60°+sin90°+tan45°) = 10
Q. 2. सिद्ध कीजिए –
3(tan²30°+cot²30°)–8(sin²45°+cos²30°) = 0
Q. 3. 4cot²45° – sec²60° + sin²60° + cos²90° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 4. sin²60°cot²60° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 5. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए –
        sin3x = 3sinx – 4sin³x
Q. 6. सिद्ध कीजिए cos60° = 2cos²30° – 1
Q. 7. मान ज्ञात कीजिए –
          2tan30°/(1 – tan²30°)
Q. 8. 2sin²60°cos60° का मान बताओ।
Q. 9. यदि cosecA = 2/√3 हो तो A का मान है।
Q. 10. मान ज्ञात कीजिए –
       3sin²30° + 2cos²45° + 3tan²60°
Q. 11. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए –
       √3tan2x = sin30° + sin45°cos45° + 2sin90°
Q. 12. यदि tanΦ = 1 हो, तो cosΦ का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 13. 2tan²45° + cos²30° – sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 14. सिद्ध कीजिए –
        4sin30°sin²60° + 3cos60°tan45° = 2sec²45° – cosec²90°
Q. 15. cosec²30° – 3sec60° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 16. सिद्ध कीजिए कि
        cosec²45°sec²30°sin³90°cos60° = 4/3
Q. 17. यदि tanA = √3 हो तो sinA का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 18. 2sin45°cos45° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 19. यदि sinα = ½ और cosβ = ½ हो, तो (α + β) का माप ज्ञात कीजिए।
Q. 20. सिद्ध कीजिए कि
         2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
Q. 21. यदि cosecΦ = 2/√3 हो तो Φ का मान π के पदों में लिखिए।
Q. 22. सिद्ध कीजिए कि
         (1 – sin45° + sin30°)(1 + cos45° + cos60°) = 7/4
Q. 23. सिद्ध कीजिए –
         4cot²45° – sec²60° – sin²30° = –1/4
Q. 24. (tan60° – tan30°)/(1 + tan60°tan30°) का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 25. सिद्ध कीजिए कि –
(sin60° + sin30°)/(sin60° – sin30°) = (tan60° + tan45°)/(tan60° – tan45°)
Q. 26. यदि A = 45° हो तो (1 – cos2A)/sin2A का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 27. यदि A = 30° हो तो (1 – 2sin²A) /sinA का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 28. cos45°/(sec30° + cosec30°) का मान ज्ञात कीजिए।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
Q. 1. सिद्ध कीजिए
cosA/(1–tanA) + sinA/(1–cotA) = sinA + cosA
Q. 2. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p
Q. 3. सिद्ध कीजिए कि –
    tanA/(1–cotA) + cotA/(1–tanA) = 1 + tanA + cotA
Q. 4. सिद्ध कीजिए कि
√[(1 + cosA) /(1 – cosA)] = cosecA + cotA
Q. 5. cos50°cosec40° का मान लिखिए।
Q. 6. सिद्ध कीजिए sin6A + cos6A = 1 – 3sin³Acos²A
Q. 7. सिद्ध कीजिए कि [(1+tan²A)/(1+cot²A)] = [(1–tanA)(1–cotA)]² = tan²A
Q. 8. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p
Q. 9. सिद्ध कीजिए कि
(tanA–sinA)/(tanA+sinA) = (secA–1)/(secA+1)
Q. 10. निम्न का मान ज्ञात कीजिए –
(1+tanA+secA)(1+cotA–cosecA)
Q. 11. यदि cosecA = 17/8, तो tanA का मान परिकलित कीजिए।
Q. 12. ∠A के त्रिकोणमितीय अनुपात sinA को cotA के पदों में लिखिए।
Q. 13. सिद्ध कीजिए कि –
tanA/(1–cotA) + cotA/(1–tanA) = 1+secA+cosecA
Q. 14. सिद्ध कीजिए कि
√(sec²A + cosec²A) = tanA + cotA
Q. 15. सिद्ध कीजिए कि 1/(1+sinA) + 1/(1–sinA) = 2sec²A
Q. 16. सिद्ध कीजिए –
tan6°tan26°tan64°tan84° = 1
Q. 17. tan52°tan38° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 18. यदि cosA/cosB = m तथा cosA/sinB = n हो तो सिद्ध कीजिए
          (m² + n²)cos²B = n²
Q. 19. सिद्ध कीजिए
√[(secA + 1)/(secA – 1)] = cotA + cosecA
Q. 20. सिद्ध कीजिए cos4A + sin4A = 1 – 2cos²Asin²A
Q. 21. यदि cos3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 22. सिद्ध कीजिए कि
sinAcos(90–A)cosA/sec(90–A) + cosAsin(90–A)/cosecA = sinAcosA
Q. 23. सिद्ध कीजिए कि
(1 + secA) /secA = sin²A/(1 – cosA)
Q. 24. दिखाइए कि tan36°tan17°tan54°tan73° = 1
Q. 25. सिद्ध कीजिए कि
√[(1 + cosA) /(1 – cosA)] = cosecA + cotA
Q. 26. सिद्ध कीजिए कि –
    tanA/(1–cotA) + cotA/(1–tanA) = 1 + tanA + cotA
Q. 27. सिद्ध कीजिए कि
sin²AcosA + tanAsinA + cos³A = secA
Q. 28. सिद्ध कीजिए कि –
(secA–tanA)² = (1–sinA)/(1+sinA)
Q. 29. 4sin18°sec72° का मान लिखिए।
Q. 30. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
(sin4A – cos4 A)/(sin²A – cos²A) = 1
Q. 31. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
   (1+sinA)/cosA + cosA/(1+sinA) = 2secA
Q. 32. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
   secA(1–sinA)(secA+tanA) = 1
Q. 33. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cos²A + cos²Acot²A = cot²A
Q. 34. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
       cos37°/sin53°
Q. 35. सिद्ध कीजिए कि
√[(1–sinA)/(1+sinA)] = secA – tanA
Q. 36.सिद्ध कीजिए –
cosec²A + sec²A = cosec²Asec²A
Q. 37. निम्नलिखित को सर्वसमिका की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cotA – tanA = (1–2sin²A)/sinAcosA
Q. 38. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
        cosec25° – sec65°
Q. 39. सिद्ध कीजिए
(cosecA – sinA) (secA – cosA) = 1/(tanA + cotA)
Q. 40. सिद्ध कीजिए
cosA/(1–tanA) + sinA/(1–cotA) = sinA + cosA
Q. 41. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA+tanA)(sinA–cosA)/(sec³–cosec³A) = sin²Acos²A
Q. 42. यदि sec5A = cosec(A – 36°) यहाँ 5A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 43. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA–cosecA)(1+tanA+secA) = 2
Q. 44. यदि tanA = 3/4 हो, तो (1–cosA)/(1+cosA) का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 45. यदि sinA + cosA = √2 sin(90°–A) है, तो cotA का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 46. tan49°/cot41° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 47. tan39° – cot51° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 48. सिद्ध कीजिए –
tan²A + cot²A + 2 = sec²A.cosec²A
Q. 49. सिद्ध कीजिए –
cos4A – cos²A = sin4A – sin²A
Q. 50. sin²50° + sin²40° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 51. सिद्ध कीजिए कि
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
Q 52. सिद्ध कीजिए (sinA – 2sin³A)/(2cos³A – cosA) = tanA
Q. 53. यदि secA + tanA = p हो, तो सिद्ध करो कि  (p² – 1)/(p² + 1) = sinA
Q. 54. सिद्ध कीजिए
(sinA+cosA)/(sinA–cosA) + (sinA–cosA)/(sinA+cosA) = 2/(1–2cos²A) = 2/(2sin²A–1)
Q. 55. सिद्ध कीजिए
cos²A/(1–tanA) + sin³A/(sinA–cosA) = 1 + sinAcosA
Q. 56. cos²12° + cos²78° का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 57. निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए –
       cosec(90 – α) + xcosαcot(90 – α) = sin(90 – α)
Q. 58. यदि  ∠A < 90° एवं ∠B < 90° और sinA = cosB हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
Q. 59. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 60. यदि tan2A = cot(A – 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 61. सिद्ध कीजिए tan15°tan20°tan70°tan75° = 1
Q. 62. sin81° + sin71° को 0° से 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
Q. 63. सिद्ध कीजिए कि
        sin35°sin55° – cos25°cos55° = 0
Q. 64. यदि tanA = cotB  तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
Q. 65. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Important Notes
Important Questions secondary maths
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निर्देशांक ज्यामिति

RBSE Important questions for secondary examination subject Maths  – Coordinate Geometry
निर्देशांक ज्यामिति
1. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
2. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (–3, –2), (5, –2) और (5, 4) हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है।
3. बिन्दुओं (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
4. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
5. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
6. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
7. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
8. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, a), (–a, –a) तथा (–√3a, √3a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
9. यदि बिन्दुओं (3, k) तथा (k, 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियां बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
10. यदि समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष A(–2, –1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) हों, तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
12. यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a हो, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
13. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः ( acosA, bsinA) और ( – asinA,  bcosA) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि OP² + OQ² = a² + b², जहाँ O मूल बिन्दु है।
14. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष क्रमशः (–1, 0), (3, 1) तथा (2, 2) हैं। तब चतुर्भुज का चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
15. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
16. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
17. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
18. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
19. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
20. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे  AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
21. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
22. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
23. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
Coordinate Geometry Notes
Important Questions
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बिन्दुपथ व समरूपता

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण प्रश्न
बिन्दुपथ
1. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
2. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ क्या होता है?
3. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
4. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
5. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
6. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
       (1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
        (2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
8. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
9. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
10. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
11. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
12. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
13. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
14. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
15. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
16. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
17. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
18. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
19. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
20. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
21. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
22. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
23. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
24. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
25. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
26. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
27. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
28. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
29. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE  और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
समरूपता
1. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
2. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
3. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 9 : 16 है, तो इनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
4. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL.     (ii) DL/DP = AL/DC
5. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
6. ΔABC में DE || BC है तथा AD/DB = 3/5 है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
7. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
             EX/BE = 1/2 है।
8. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
10. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
11. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
12. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
         AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
13. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
14. ΔABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि BD = CE है। यदि ㄥB = ㄥC हो तो दर्शाइए DE || BC
15. 12 मीटर लम्बाई वाले उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 8 मीटर है उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 56 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
16. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
17. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज AB || DC है। असमान्तर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E और F इस प्रकार स्थित है कि EF भुजा AB के समान्तर है दर्शाइए कि AE/ED = BF/FC.
18. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
19. किसी ΔABC में DE || BC है यदि AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 और EC = x – 1 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
20. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
21. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करेगी।
22. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
23. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
24. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी.  तथा AE = 1.8 सेमी.
(ii) AD = 10.5  सेमी.,  BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
25. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
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समान्तर श्रेणी

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा विषय गणित के महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
समान्तर श्रेणी
1. A. P. : 13, 8, 3, ..... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. एक समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात करो जिसका nवाँ पद an= 9 – 5n है।
3. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
4. एक समान्तर श्रेणी का तीसरा पद 12 है और 50 वाँ पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
5. 250 से 1000 तक की 3 से भाज्य प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
6. यदि किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
7. संख्याओं की निम्नलिखित सूची के लिए समान्तर श्रेणी की जाँच कीजिए। यदि समान्तर श्रेणी है तो इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए। इसके अगले चार पद ज्ञात कीजिए।
(i) 2, 5/2, 3, 7/2, .......
(ii) –½, –½, –½, –½,.......
8. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 31 हो तथा 15वाँ पद, 11वें पद से 16 अधिक हो, तो प्रथम पद तथा सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
9. समान्तर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ........., 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
10. समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27, 39, ...... का कौनसा पद 639 है ?
11. यदि समान्तर श्रेणी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो, तो दर्शाइए कि mn पदों का योग ½(mn + 1) होगा।
12. उस A. P. के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 3 + 4n है।
13. योगफल ज्ञात कीजिए 3 + 11 + 19 + ............ + 803
14. एक समान्तर श्रेणी के पहले 51 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय और तृतीय पद क्रमशः 14 व 18 है।
15. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
16. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
17. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
18. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
19. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
20. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
21. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
22. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
23. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
24. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
25. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
26. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
          An = 7 – 3n
27. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
28. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
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दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं

दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
          3x – 2y  ≤ x + y – 8
2. आलेखीय विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए –
      2x + 3y = 13 ; 5x – 2y = 4
3. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
      3x – y = 2 ; 2x – 3y = 5
4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
           x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
5. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
           x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
6. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
2x – y = 4;  x + y = –1
7. पाँच वर्ष पश्चात, किसी पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का तीन गुना होगी। पाँच वर्ष पूर्व, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का सात गुना थी, तब उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
8. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
          3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
9. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए 2x + 3y = 13 तथा 5x – 2y = 4 इसकी सहायता से a का मान ज्ञात करो। जबकि 5x – 3y = a है।
10. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
          4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
11. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
          2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
12. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0  का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
13. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
            x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
14. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y –  अक्ष को काटती हैं।
            3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
15. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
          2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
16. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
17. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
18. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
          x + y = 10  तथा x – y = 12
19. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
          x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
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बहुपद

बहुपद
1. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
3. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
4. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
5. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
6. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
        f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
7. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण √3x² + 10x + 7√3 = 0 को हल कीजिए।
8. द्विघात बहुपद 3x² + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
9. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
10. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण 4x² – 4a²x + (a4 – b4) = 0 को हल कीजिए।
11. द्विघात समीकरण 1/x – 1/(x–2) = 3, x ≠ 0, 2 के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
12. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः – ¼ व ¼ हैं।
13. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
14. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
15. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
           x² + (√3 + 1)x + √3
16. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
17. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
18. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
19. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
20. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
21. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
22. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
बहुपद से संबंधित महत्वपूर्ण नोट्स
बहुपद
द्विघात समीकरण
राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु गणित विषय के महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
महत्वपूर्ण प्रश्न
मॉडल पेपर कक्षा 10 विषय गणित
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