बिन्दुपथ व समरूपता

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड राजस्थान द्वारा आयोजित सेकण्डरी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण प्रश्न
बिन्दुपथ
1. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
2. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ क्या होता है?
3. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
4. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
5. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
6. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
       (1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
        (2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
8. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
9. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
10. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
11. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
12. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
13. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
14. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
15. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
16. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
17. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
18. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
19. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
20. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
21. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
22. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
23. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
24. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
25. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
26. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
27. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
28. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
29. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE  और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
समरूपता
1. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
2. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
3. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 9 : 16 है, तो इनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
4. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL.     (ii) DL/DP = AL/DC
5. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
6. ΔABC में DE || BC है तथा AD/DB = 3/5 है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
7. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
             EX/BE = 1/2 है।
8. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
10. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
11. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
12. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
         AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
13. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
14. ΔABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि BD = CE है। यदि ㄥB = ㄥC हो तो दर्शाइए DE || BC
15. 12 मीटर लम्बाई वाले उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 8 मीटर है उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 56 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
16. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
17. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज AB || DC है। असमान्तर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E और F इस प्रकार स्थित है कि EF भुजा AB के समान्तर है दर्शाइए कि AE/ED = BF/FC.
18. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
19. किसी ΔABC में DE || BC है यदि AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 और EC = x – 1 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
20. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
21. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करेगी।
22. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
23. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
24. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी.  तथा AE = 1.8 सेमी.
(ii) AD = 10.5  सेमी.,  BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
25. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
महत्वपूर्ण नोट्स
ज्यामिति
महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
महत्वपूर्ण प्रश्नों का संग्रह
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Model Paper