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Important Questions
सेकण्डरी गणित मॉडल पेपर
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विषय : गणित
वैदिक गणित
1. सूत्र 'एकाधिकेन पूर्वेण' विधि द्वारा निम्न संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(1) 588 × 512
(2) 103 × 197
(3) 31⅓ × 31⅔
2. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए।
(1) 125
(2) 85
(3) 115
3. 211 का उपसूत्र यावदूनी तावदूनी द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
संकेत : (संख्या)² = उपाधार अंक ( संख्या + विचलन) / (विचलन)²
4. सूत्र निखिलम् द्वारा संख्या 14 का घनफल ज्ञात कीजिए।
संकेत : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3 (विचलन)² / (विचलन)³
5. सूत्र निखिलम् का प्रयोग करते हुए 54 × 56 का मान ज्ञात कीजिए।
6. 15 का घनफल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए।
7. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 17 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
8. सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण द्वारा 56 × 99 को हल कीजिए।
9. इष्ट संख्या विधि से 12 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
10. सूत्र निखिलम् विधि द्वारा 2112 ÷ 97 को हल कीजिए।
11. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) 13x – 14 = 9x + 10
(2) 3y + 4 = 5y – 4
(3) (2x + 1)/(3x + 4) = 1/3
(4) 5/(x + 1) + 3/(x + 2) = 0
12. सूत्र शून्य साम्य समुच्चये द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) (x + 1)(x + 9) = (x + 3)(x + 3)
(2) a(x – 1) + b(x – 1) = c(x – 1) + d(x – 1)
(3) x/2 + x/3 = x/4 + x/1
(4) 1/(x + a) + 1/(x +b) = 0
(5) 1/(x – 1) + 1/(x – 4) = 1/(x – 2) + 1/(x – 3)
(6) 1/(x + 1) – 1/(x + 3) = 1/(x + 2) – 1/(x + 4)
(7) (5x + 7)/(2x + 1) = (x + 1)/(3x + 5)
(8) 1/(x – 1) – 2/(x + 1) = 0
(9) 1/(x + 4) + 1/(x – 6) = 0
(10) 5/(3x + 2) + 5/(2x + 8) = 0
(11) (3x + 6)/(6x + 3) = (5x + 4)/(2x + 7)
(12) 1/(x + 2) + 1/(x + 6) = 1/(x + 1) + 1/(x + 7)
13. परममित्र अंक किसे कहते हैं ?
14. निम्नलिखित पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल 'द्वन्द्व योग' विधि से ज्ञात कीजिए।
(1) 7225
(2) 59049
(3) 125316
(4) 389376
(5) 41254929
(6) 10329796
15. संख्या 97 का सूत्र निखिलम् द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।
( सूत्र : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3(विचलन)²/(विचलन)³
16. 68921 का भागविधि से घनमूल ज्ञात कीजिए।
17. सूत्र एकन्यूनेन पूर्वेण द्वारा 137 × 9999 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
18. सूत्र ध्वजांक द्वारा निम्न को हल कीजिए।
(1) 92358 ÷ 151
(2) 592837 ÷ 119
(3) 12345 ÷ 91
19. उपसूत्र आनुरुप्येण द्वारा संख्या 52 का घनफल ज्ञात कीजिए।
20. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा संख्या 73 का घनफल ज्ञात कीजिए।
21. 8365427 का भाग विधि से घनमूल निकालिए।
Important questions
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संख्या पद्धति
1. परिमेय संख्या 37/(2 × 5²) के दशमलव प्रसार में दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अंत होगा ?
2. परिमेय संख्या 17/8 को बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये दशमलव प्रसार सांत में लिखिए।
3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
12, 15 और 21
4. परिमेय संख्या 14588/625 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
5. निम्नलिखित संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
3825
6. संख्या 49/500 के दशमलव प्रसार लिखिए।
7. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
24, 15 तथा 36
8. संख्या 3/625 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती। इसे दशमलव के रूप में लिखें।
9. 95 और 152 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
10. यदि H. C. F. ( 306, 657 ) = 9, तो L. C. M. ( 306, 657 ) ज्ञात कीजिए।
11. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H. C. F ज्ञात कीजिए।
12. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया बताइए कि परिमेय संख्या 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है अथवा असांत।
13. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि परिमेय संख्या 129/(2² × 5³ × 7³) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
14. यदि p/q, ( q ≠ 0 ) एक परिमेय संख्या है, तो q पर क्या प्रतिबन्ध होगा, जबकि p/q एक सांत दशमलव हो ?
15. 4050 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
16. परिमेय संख्या 34.12345 के हर को अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में लिखिए।
17. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 247 और 2055 को इस प्रकार विभाजन करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 प्राप्त हो।
18. एक आयताकार बरामदा 18 मी. 72 सेमी. लम्बा तथा 13 मी. 20 सेमी. चौड़ा है। इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी है। इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
19. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q + 1 के रूप में होता है जहां q एक धनात्मक पूर्णांक है।
20. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक को 1032x – 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
21. दर्शाइये कि √2 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
22. किसी खेल के मैदान के वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में रमन को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में अनुप्रिया को 12 मिनट का समय लगता है। माना कि दोनों एक ही स्थान से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं तो बताइये कितने समय बाद दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
23. सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
24. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
25. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक 3 से विभाज्य है।
26. सिद्ध कीजिए कि 7 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
27. सिद्ध कीजिए कि 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
28. यदि p अभाज्य धनात्मक पूर्णांक संख्या है तो सिद्ध कीजिए √p एक अपरिमेय संख्या है।
29. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 और 967 को विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 प्राप्त होते हैं।
30. प्रमाणित कीजिए कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।
31. सिद्ध कीजिए कि √7 एक अपरिमेय संख्या है।
32. एक संगोष्ठी में हिन्दी, अंग्रेजी और गणित में भाग लेने वाले प्रतिभागियों की संख्या क्रमशः 60, 84 तथा 108 है। यदि प्रत्येक कमरे में बराबर संख्या में एक ही विषय के प्रतिभागी बैठाये जाते हैं, तो आवश्यक कमरों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
33. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 2053 को इस प्रकार विभाजित करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।
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बहुपद
1. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
3. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
4. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
5. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
6. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
7. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
x² + (√3 + 1)x + √3
8. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
9. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
10. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
11. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
12. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
13. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
14. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
15. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
16. द्विघात समीकरण kx – 5x + k = 0 के मूल वास्तविक तथा बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
17. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
18. बहुपद f(x) = 3x4 + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √(5/3) और –√(5/3) हैं।
19. 16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है।
20. निम्न द्विघात समीकरण में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हो।
2x² + kx + 3 = 0
21. दो बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक x³ – 6x² + 3x + 10 है तथा महत्तम समापवर्तक (x + 1) है। यदि एक बहुपद x² – 4x + 5 है तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए।
समान्तर श्रेणी
1. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
2. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
3. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
4. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
5. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
6. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
7. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
8. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
9. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
10. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
11. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
12. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
An = 7 – 3n
13. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
14. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
15. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
16. एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय तथा तृतीय पद क्रमशः 14 तथा 18 हैं।
17. एक टेलीविजन सेटों का निर्माता, तीसरे वर्ष 600 टी. वी. तथा सातवें वर्ष में 700 टी. वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए –
(1) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(2) 10 वें वर्ष में उत्पादन
(3) 7 वर्षों में कुल उत्पादन
18. 32 को चार ऐसे भागों में विभाजित कीजिए कि चारों भाग समान्तर श्रेढ़ी में हो तथा प्रथम व अन्तिम संख्याओं का गुणनफल मध्य संख्याओं के गुणनफल से 7 : 15 के अनुपात में हो।
19. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
20. समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12 ........ के 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
21. समान्तर श्रेढ़ी (–5) + (–8) + (–11) + -------------+ (–230) का योगफल ज्ञात कीजिए।
22. समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद An = 9 – 5n है।
23. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
2. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
3. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
4. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
5. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
6. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
7. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
8. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
3x – 2y ≤ x + y – 8
9. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
10. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
11. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
x + y = 10 तथा x – y = 12
12. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
13. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
14. दी असमिका | x – y | ≥ 1 के हल समुच्चय को छायांकित कीजिए।
15. दिए गए समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
त्रिकोणमितीय अनुपात
1. मान ज्ञात कीजिए –
3sin²30° + 2cos²45° + 3tan²60°
2. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए –
√3tan2x = sin30° + sin45°cos45° + 2sin90°
3. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए –
sin3x = 3sinx – 4sin³x
4. यदि tanΦ = 1 हो, तो cosΦ का मान ज्ञात कीजिए।
5. 2tan²45° + cos²30° – sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
6. सिद्ध कीजिए –
4sin30°sin²60° + 3cos60°tan45° = 2sec²45° – cosec²90°
7. cosec²30° – 3sec60° का मान ज्ञात कीजिए।
8. सिद्ध कीजिए कि
cosec²45°sec²30°sin³90°cos60° = 4/3
9. यदि tanA = √3 हो तो sinA का मान ज्ञात कीजिए।
10. 2sin45°cos45° का मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि sinα = ½ और cosβ = ½ हो, तो (α + β) का माप ज्ञात कीजिए।
12. सिद्ध कीजिए कि
2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
13. यदि cosecΦ = 2/√3 हो तो Φ का मान π के पदों में लिखिए।
14. सिद्ध कीजिए कि
(1 – sin45° + sin30°)(1 + cos45° + cos60°) = 7/4
15. सिद्ध कीजिए –
4cot²45° – sec²60° – sin²30° = –1/4
16. (tan60° – tan30°)/(1 + tan60°tan30°) का मान ज्ञात कीजिए।
17. मान ज्ञात कीजिए –
2tan30°/(1 – tan²30°)
18. सिद्ध कीजिए कि –
(sin60° + sin30°)/(sin60° – sin30°) = (tan60° + tan45°)/(tan60° – tan45°)
19. यदि A = 45° हो तो (1 – cos2A)/sin2A का मान ज्ञात कीजिए।
20. यदि A = 30° हो तो (1 – 2sin²A) /sinA का मान ज्ञात कीजिए।
21. cos45°/(sec30° + cosec30°) का मान ज्ञात कीजिए।
22. यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए –
cot(A – B) = (cotAcotB + 1)/(cotB – cotA)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
1. tan52°tan38° का मान ज्ञात कीजिए।
2. cos²12° + cos²78° का मान ज्ञात कीजिए।
3. निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए –
cosec(90 – α) + xcosαcot(90 – α) = sin(90 – α)
4. यदि ∠A < 90° एवं ∠B < 90° और sinA = cosB हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
5. यदि sec5A = cosec(A – 36°) यहाँ 5A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
6. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
7. 4sin18°sec72° का मान लिखिए।
8. दिखाइए कि tan36°tan17°tan54°tan73° = 1
9. यदि cos3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
10. tan39° – cot51° का मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि tan2A = cot(A – 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
12. sin²50° + sin²40° का मान ज्ञात कीजिए।
13. सिद्ध कीजिए tan15°tan20°tan70°tan75° = 1
14. sin81° + sin71° को 0° से 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि
sin35°sin55° – cos25°cos55° = 0
16. यदि tanA = cotB तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
17. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि
sinA(1 + tanA) + cosA(1 + cotA) = cosecA + secA
19. सिद्ध कीजिए कि
sin²AcosA + tanAsinA + cos³A = secA
20. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(q² – 1) = 2p
21. सिद्ध कीजिए कि
√(sec²A + cosec²A) = tanA + cotA
22. सिद्ध कीजिए कि
cotA + tanA = cosecAsecA
23. cosecA को secA के पदों में लिखिए।
24. sinA को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
25. सिद्ध कीजिए कि
(secA + tanA) (1 – sinA) = cosA
26. यदि tanA + sinA = m तथा tanA – sinA = n, तो सिद्ध कीजिए m² – n² = 4√(mn)
27. सिद्ध कीजिए कि
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
28. सिद्ध कीजिए कि
sinA/(1 + cosA) + (1 + cosA)/sinA = 2cosecA
29. सिद्ध कीजिए
cos(90° – A)cosA/tanA + cos²(90° – A) = 1
30. यदि secA + tanA = p हो, तो सिद्ध करो कि (p² – 1)/(p² + 1) = sinA
31. सिद्ध कीजिए (cos²A)² + (sin²A)² = 1 – 2cos²Asin²A
ऊँचाई और दूरी
1. यदि एक मीनार की परछाई की लम्बाई मीनार की ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
2. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
3. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
4. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
6. एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
7. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
8. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने - सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
9. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
10. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
11. एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
12. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नताश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो।
13. आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( √3 = 1.732 )
14. 100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित है कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में है। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
15. 50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
16. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हो यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो। ( √3 = 1.732 )
17. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
18. धरातल के एक बिन्दु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 मीटर पर उड़ रहा हो तो हवाई जहाज की गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
19. एक समतल जमीन पर 1.5 मीटर लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई 1 मीटर है तथा उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
20. एक पहाड़ी का ढलान क्षैतिज से 60° का कोण बनाता है। यदि शिखर तक पहुँचने में 500 मीटर चलना पड़ता है तो पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात करो।
21. किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नयन कोण समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15° है स्तम्भ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( जहाँ tan15° = 2 – √3 है)
22. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° है। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
निर्देशांक ज्यामिति
1. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
2. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
4. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
5. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
6. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
7. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
8. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
9. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
10. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
11. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
12. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
13. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
14. यदि A तथा B क्रमशः (–2, –2) और (2, –4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि 7AP = 3AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
15. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
16. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
17. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, –2), (–2, 1) और (5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
18. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–4, 4) और (7, 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
19. x - अक्ष बिन्दुओं A(3, –5) और B(–4, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
20. ज्ञात कीजिए कि रेखा x + y = 4 , बिन्दु (–1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
21. बिन्दुओं (2, –3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखाखण्ड y - अक्ष से किस अनुपात में विभाजित होता है ?
बिन्दुपथ
1. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
2. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
3. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
4. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
5. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
6. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
7. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
8. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
9. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
10. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
11. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
12. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
13. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
14. परिकेन्द्र किसे कहते हैं ?
15. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
16. बिन्दुपथ किसे कहते हैं ?
17. त्रिभुज के तीनों शीर्षों एवं तीनों भुजाओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
18. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
19. एक ΔABC में, माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 2(AD + BE) > 3AB
20. ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, BC का मध्य बिन्दु D है। सिद्ध कीजिए कि परिकेन्द्र, अन्त:केन्द्र, लम्बकेन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित है।
21. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
22. एक ΔABC की माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AG = 5 सेमी., BE = 12 सेमी. और FG = 3 सेमी. हो तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
23. सिद्ध कीजिए कि A और B बिन्दुओं से होकर जाने वाले वृत्तों के केन्द्रों का बिन्दुपथ रेखाखण्ड AB का लम्बअर्द्धक है।
24. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
25. ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती हैं ।
(a) यदि GF = 4 सेमी. हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AD = 7.5 सेमी. हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
26. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
27. यदि किसी त्रिभुज की माध्यिकाएं एक ही बिन्दु से गुजरती हैं तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 में विभाजित करता है।
28. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
29. एक उभयनिष्ठ आधार BC पर रेखा BC के विपरीत ओर दो समद्विबाहु त्रिभुज ΔPBC और ΔQBC स्थित है। सिद्ध कीजिए कि P और Q को मिलाने वाली रेखा BC को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
30. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों शीर्ष लम्ब संगामी होते हैं।
31. एक उभयनिष्ठ आधार QR पर एक ही ओर दो समद्विबाहु त्रिभुज PQR और SQR स्थित है। सिद्ध कीजिए कि SP रेखा QR की लम्बअर्द्धक है।
32. एक कोण ABC की भुजा BA और BC से समदूरस्थ तथा कोण ABC के अन्तःभाग में किसी बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
33. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग उसकी तीनों माध्यिकाओं के योग से अधिक होता है।
34. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 4(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA)
समरूपता
1. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL. (ii) DL/DP = AL/DC
2. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
3. एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC एवं DBC बने हैं। यदि AD व BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए –
ΔABC का क्षेत्रफल /ΔDBC का क्षेत्रफल = AO/DO
4. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
5. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
6. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई एक रेखा त्रिभुज की शेष दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे तो यह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
7. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
9. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
10. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
11. यदि ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी है, यदि EF = 15.4 सेमी हो तो BC ज्ञात कीजिए।
12. ΔABC की भुजाओं AB एवं AC पर बिन्दु D और E इस प्रकार है कि DE || BC है एवं AD = 8 सेमी, AB = 12 सेमी तथा AE = 12 सेमी हो तो CE का मान ज्ञात करो।
13. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
14. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
15. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
17. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
18. आयत ABCD के अन्दर स्थित O कोई बिन्दु है, सिद्ध कीजिए –
OB² + OD² = OA² + OC²
19. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
EX/BE = 1/2 है।
20. ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD और DA पर क्रमशः P, Q, R एवं S बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि ये चतुर्भुज के शीर्ष A व C के सापेक्ष इन्हें समत्रिभाजित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
21. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
22. सिद्ध करो कि यदि कोई एक रेखा किसी त्रिभुज के एक आन्तरिक कोण का समद्विभाजन करे तो वह समद्विभाजक रेखा उस कोण की सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं की लम्बाइयों के अनुपात में विभाजित करती है।
23. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
24. सिद्ध करो कि त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाने पर बनने वाले बहिष्कोण का समद्विभाजक कोण की सम्मुख भुजा बाह्य विभाजन त्रिभुज की शेष दोनों भुजाओं के अनुपात में करता है।
25. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
26. एक रेखाखण्ड XY, त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर है तथा त्रिभुज को दो समान भागों में बांटती है। अनुपात AX/AB ज्ञात कीजिए।
27. सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों में कोई संगत दो भुजाएँ परस्पर समानुपाती हो तथा उनके मध्य के कोण बराबर हो तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
28. सिद्ध करो कि यदि दो त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज परस्पर समरूप होते हैं।
29. CD और RS क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएं है। यदि ΔABC ~ ΔPQR हो तो सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔADC ~ ΔPSR
(ii) CD/RS = AB/PQ
30. सिद्ध कीजिए कि दो समानकोणिक त्रिभुज, परस्पर समरूप होते हैं।
31. BE और CF एक समकोण ΔABC की माध्यिकाएं है तथा इस त्रिभुज का कोण A समकोण है। सिद्ध कीजिए
4(BE² + CF²) = 5BC²
32. एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
33. किसी ΔABC के शीर्ष A से उसकी सम्मुख भुजा BC पर लम्ब डालने पर AD² = BD×DC प्राप्त होता है तो, सिद्ध कीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है।
वृत्त
1. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
2. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
4. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
5. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
6. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
7. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
8. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
9. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या लिखिए।
10. यदि 16 सेमी लम्बाई की एक जीवा वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूरी पर है तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
12. वृत्त का केन्द्र वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
13. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
14. एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं के द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोणों में क्या सम्बन्ध होता है ?
15. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
16. सिद्ध कीजिए कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।
17. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती है ?
18. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है ?
19. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
20. सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज की एक भुजा बढ़ाने पर बनने वाला बहिष्कोण अपने अन्तराभिमुख कोण के बराबर हो, तो वह एक चक्रीय चतुर्भुज होता है।
21. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्म सम्पूरक या उनका योग 180° होता है।
22. यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है और इसकी एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
23. एक बिन्दु जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
1. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
2. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
3. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
4. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
∠BAC = 2∠OBC
5. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
6. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
7. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
8. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
9. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
10. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
11. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
12. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
13. एक वृत्त, एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि केन्द्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा अन्तरित कोण सम्पूरक होते हैं।
रचनाएँ
1. एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों ।
2. किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएं OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATB को मापिए।
3. दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की है, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर है।
4. 4.6 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए। क्या इसका परिकेन्द्र एवं अन्त:केन्द्र सम्पाती है? क्यों, कारण सहित बताइए।
5. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
6. 5 सेमी., 4.5 सेमी. एवं 7 सेमी. भुजाओं वाले त्रिभुज का परिकेन्द्र कहाँ स्थित होना चाहिए की पुष्टि रचना के द्वारा कीजिए। साथ ही इसके परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए।
7. 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
8. एक रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि MN = 4/5 ML
9. एक ΔABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी, ∠B = 40°, ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
10. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
11. एक रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी बनाइये। रेखाखण्ड AB पर एक बिन्दु C ऐसा ज्ञात कीजिए कि AC = ⅓AB. इसे सत्यापित भी कीजिए।
12. एक 2.8 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए, जिसके केन्द्र से 4.3 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन्हें मापकर दोनों बराबर है की जाँच कीजिए।
13. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
14. ΔABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए, जबकि BC = 5.8 सेमी, AB = 5 सेमी तथा ∠B = 55° हो।
15. दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएं 4 सेमी तथा 3 सेमी है तथा दोनों के केन्द्रों के बीच दूरी 6.5 सेमी है, की रचना कर उन पर एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल
1. किसी वृत्त की परिधि व त्रिज्या का अन्तर 74 सेमी है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2. एक वृत्त की परिधि एक वर्ग के परिमाप के बराबर है। यदि वर्ग का क्षेत्रफल 484 वर्ग मीटर हो तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
3. एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
4. यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5. एक घड़ी के घण्टे की सुई 6 सेमी. लम्बी है। 90 मिनट में इस सुई द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
6. एक वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा मार्ग बना हुआ है। मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए –
(i) चाप की लम्बाई
(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
8. एक वृत्ताकार खेत पर 24 रु. प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5280 रु. है। इस खेत की 0.50 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
9. एक अर्धवृत्ताकार प्लाट की त्रिज्या 21 मीटर है। इसका क्षेत्रफल व परिमाप ज्ञात कीजिए।
10. 56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे ABCD के AB व CD भुजा पर दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गयी है। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्द्र बगीचे के विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है, तो बगीचे और क्यारियों के क्षेत्रफल का योग ज्ञात कीजिए।
11. 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
12. किसी वृत्त का व्यास समबाहु त्रिभुज की भुजा के बराबर है, तो बताइये कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
13. एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 सेमी. है। 66 किमी. /घण्टा की चाल रखने के लिए, पहिये को प्रति मिनट कितने चक्कर लगाने चाहिए ?
14. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण बनाती है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
15. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है यदि वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी है, तो संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
16. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में कोण 120° के संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
17. 4 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
18. एक वृत की त्रिज्या 7 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण 90° है, वृत के लघु त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई तथा उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
19. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
20. 28 सेमी व्यास वाले वृत की परिधि ज्ञात कीजिए।
21. 44 सेमी परिधि वाले वृत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
22. 100 चक्कर में एक स्कूटर का पहिया 88 मीटर की दूरी तय करता है। इस पहिये की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
23. एक वृत के चाप की लम्बाई 12 सेमी. और त्रिज्या 7 सेमी. है। वृत के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
24. एक वृत के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी. है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
1. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
2. एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई तथा त्रिज्या का अनुपात 7 : 4 है। यदि इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 792 वर्ग सेमी. हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. 42 सेमी. कोर के घन से बड़े से बड़ा लम्बवृत्तीय शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
4. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5. एक बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः 1650 घन सेमी. और 660 वर्ग सेमी. है। बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
6. धातु के एक गोले का व्यास 6 सेमी. है। गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ - परिच्छेद वाला तार बनाया गया है। यदि तार की लम्बाई 36 मीटर हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
7. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक-तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
8. पानी से भरी हुई एक अर्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मीटर है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जाएगी ?
9. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 19 सेमी. है तथा विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी. है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
10. एक शंकु की ऊँचाई 28 सेमी. तथा आधार की त्रिज्या 21 सेमी. है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
11. तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. और 1 सेमी. हैं। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
12. 7 सेमी. व्यास वाला एक गोला पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। बर्तन के आधार का व्यास 14 सेमी. है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो, तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा ?
13. दो लम्बवृत्तीय बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 तथा ऊँचाइयों का अनुपात 5 : 4 है, तो दोनों बेलनों के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
14. 6 सेमी. व्यास का एक गोला 12 सेमी. व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है, डाला जाता है। बर्तन में पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा ?
15. 9 मीटर ऊँचे शंकु के आकार के टेन्ट के आधार की परिधि 44 मीटर है। इसके अन्दर की वायु का आयतन ज्ञात कीजिए।
16. एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm. × 10 cm. × 3.5 cm. हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm. है और गहराई 1.4 cm. है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
17. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 : 2 है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी.² है तो उसकी कोरों की माप ज्ञात कीजिए।
18. यदि घनाभ की लम्बाई 12 मीटर, चौड़ाई 9 मीटर तथा ऊँचाई 8 मीटर है, तो इसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।
19. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
20. एक घनाभ की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 6 सेमी है। इस घनाभ को पिघलाकर 3 सेमी वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं ?
21. एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 सेमी² है तथा इसकी ऊँचाई 15 सेमी है, इसका वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
22. एक माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी है। इस तरह की 12 डिब्बियों के एक पैकिट का आयतन क्या होगा ?
23. 1 सेमी व्यास तथा 5 सेमी लम्बे चाँदी के बेलनाकार टुकड़े से 1 मिमी व्यास के खींचकर बनाए गये तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
24. एक कमरे की लम्बाई 5 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर व ऊँचाई 4 मीटर है। 20 रुपये प्रति वर्गमीटर की दर से चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
25. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 27 सेमी³ है, तो संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
26. घन के एक पृष्ठ का परिमाप 28 सेमी है, तो घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
27. 4.2 सेमी. त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 7 सेमी. त्रिज्या वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
28. 10 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले से समान त्रिज्या के 8 गोले बनाए जाते हैं। इस प्रकार बने प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
29. एक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या 12 सेमी और कोण 120° है। इसकी सीधी कोरों को सम्पाती करके एक शंकु बनाया जाता है। इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
30. 14 सेमी भुजा के एक घन से बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
31. 1 सेमी त्रिज्या और 2 सेमी लम्बी ताँबे की एक छड़ को एक समान चौड़ाई वाले 18 मीटर लम्बे एक तार के रूप में बदला जाता है। तार की मोटाई ज्ञात कीजिए।
32. एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 1232 सेमी³ तथा ऊँचाई 24 सेमी है। इसकी तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
33. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्गसेमी है तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
34. धातु के तीन घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी., 4 सेमी., 5 सेमी. है। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। इस घन की कोर की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
35. बगैर ढक्कन का एक बक्सा 3 सेमी. मोटी लकड़ी का बना हुआ है। इसकी बाहरी लम्बाई 146 सेमी., चौड़ाई 116 सेमी. और ऊँचाई 83 सेमी. है। उसके अन्दर की ओर पेन्ट कराने का खर्च ज्ञात कीजिए। पेन्ट की दर 2 रु. प्रति 1000 वर्ग सेमी. है।
36. 44 मीटर लम्बी, 1.5 मीटर ऊँची और 85 सेमी. चौड़ी दीवार बनाने में 22 सेमी. × 10 सेमी. × 7 सेमी. माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी ?
37. एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 1 : 3 है। यदि बेलन का आयतन 3234 सेमी³ है तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
38. 20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया। इससे निकली मिट्टी से 22 मी. × 14 मी. माप का एक चबूतरा बनाया गया। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
39. किसी शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 5 : 12 और आयतन 2512 घन सेमी है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
40. एक शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या 10 सेमी और ऊँचाई 18 सेमी है। यह पानी से पूरा भरा हुआ है। इसे 5 सेमी त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में उड़ेला जाता है। बेलनाकार बर्तन में पानी के तल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
41. एक बेलन सीसे का बना हुआ है जिसकी त्रिज्या 4 सेमी व ऊँचाई 10 सेमी है। इसे पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं ?
42. 9 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई के कितने शंकु बनाए जा सकते हैं।
43. एक सीसे के ठोस आयत फलकी की माप क्रमशः 66 सेमी, 42 सेमी और 21 सेमी है। ज्ञात कीजिए कि इसको पिघलाकर इससे 4.2 सेमी व्यास की कितनी गोलियां बनाई जा सकती है।
44. 9 सेमी. की अन्तःत्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में एक द्रव भरा है। इस द्रव को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई के छोटे-छोटे बेलनाकार बर्तनों में भरना है। ज्ञात कीजिए कि कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी ?
Secondary Board Maths Practice Questions
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सेकण्डरी गणित मॉडल पेपर
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विषय : गणित
वैदिक गणित
1. सूत्र 'एकाधिकेन पूर्वेण' विधि द्वारा निम्न संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(1) 588 × 512
(2) 103 × 197
(3) 31⅓ × 31⅔
2. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए।
(1) 125
(2) 85
(3) 115
3. 211 का उपसूत्र यावदूनी तावदूनी द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
संकेत : (संख्या)² = उपाधार अंक ( संख्या + विचलन) / (विचलन)²
4. सूत्र निखिलम् द्वारा संख्या 14 का घनफल ज्ञात कीजिए।
संकेत : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3 (विचलन)² / (विचलन)³
5. सूत्र निखिलम् का प्रयोग करते हुए 54 × 56 का मान ज्ञात कीजिए।
6. 15 का घनफल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए।
7. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 17 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
8. सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण द्वारा 56 × 99 को हल कीजिए।
9. इष्ट संख्या विधि से 12 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
10. सूत्र निखिलम् विधि द्वारा 2112 ÷ 97 को हल कीजिए।
11. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) 13x – 14 = 9x + 10
(2) 3y + 4 = 5y – 4
(3) (2x + 1)/(3x + 4) = 1/3
(4) 5/(x + 1) + 3/(x + 2) = 0
12. सूत्र शून्य साम्य समुच्चये द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) (x + 1)(x + 9) = (x + 3)(x + 3)
(2) a(x – 1) + b(x – 1) = c(x – 1) + d(x – 1)
(3) x/2 + x/3 = x/4 + x/1
(4) 1/(x + a) + 1/(x +b) = 0
(5) 1/(x – 1) + 1/(x – 4) = 1/(x – 2) + 1/(x – 3)
(6) 1/(x + 1) – 1/(x + 3) = 1/(x + 2) – 1/(x + 4)
(7) (5x + 7)/(2x + 1) = (x + 1)/(3x + 5)
(8) 1/(x – 1) – 2/(x + 1) = 0
(9) 1/(x + 4) + 1/(x – 6) = 0
(10) 5/(3x + 2) + 5/(2x + 8) = 0
(11) (3x + 6)/(6x + 3) = (5x + 4)/(2x + 7)
(12) 1/(x + 2) + 1/(x + 6) = 1/(x + 1) + 1/(x + 7)
13. परममित्र अंक किसे कहते हैं ?
14. निम्नलिखित पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल 'द्वन्द्व योग' विधि से ज्ञात कीजिए।
(1) 7225
(2) 59049
(3) 125316
(4) 389376
(5) 41254929
(6) 10329796
15. संख्या 97 का सूत्र निखिलम् द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।
( सूत्र : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3(विचलन)²/(विचलन)³
16. 68921 का भागविधि से घनमूल ज्ञात कीजिए।
17. सूत्र एकन्यूनेन पूर्वेण द्वारा 137 × 9999 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
18. सूत्र ध्वजांक द्वारा निम्न को हल कीजिए।
(1) 92358 ÷ 151
(2) 592837 ÷ 119
(3) 12345 ÷ 91
19. उपसूत्र आनुरुप्येण द्वारा संख्या 52 का घनफल ज्ञात कीजिए।
20. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा संख्या 73 का घनफल ज्ञात कीजिए।
21. 8365427 का भाग विधि से घनमूल निकालिए।
Important questions
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संख्या पद्धति
1. परिमेय संख्या 37/(2 × 5²) के दशमलव प्रसार में दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अंत होगा ?
2. परिमेय संख्या 17/8 को बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये दशमलव प्रसार सांत में लिखिए।
3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
12, 15 और 21
4. परिमेय संख्या 14588/625 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
5. निम्नलिखित संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
3825
6. संख्या 49/500 के दशमलव प्रसार लिखिए।
7. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
24, 15 तथा 36
8. संख्या 3/625 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती। इसे दशमलव के रूप में लिखें।
9. 95 और 152 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
10. यदि H. C. F. ( 306, 657 ) = 9, तो L. C. M. ( 306, 657 ) ज्ञात कीजिए।
11. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H. C. F ज्ञात कीजिए।
12. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया बताइए कि परिमेय संख्या 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है अथवा असांत।
13. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि परिमेय संख्या 129/(2² × 5³ × 7³) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
14. यदि p/q, ( q ≠ 0 ) एक परिमेय संख्या है, तो q पर क्या प्रतिबन्ध होगा, जबकि p/q एक सांत दशमलव हो ?
15. 4050 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
16. परिमेय संख्या 34.12345 के हर को अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में लिखिए।
17. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 247 और 2055 को इस प्रकार विभाजन करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 प्राप्त हो।
18. एक आयताकार बरामदा 18 मी. 72 सेमी. लम्बा तथा 13 मी. 20 सेमी. चौड़ा है। इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी है। इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
19. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q + 1 के रूप में होता है जहां q एक धनात्मक पूर्णांक है।
20. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक को 1032x – 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
21. दर्शाइये कि √2 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
22. किसी खेल के मैदान के वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में रमन को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में अनुप्रिया को 12 मिनट का समय लगता है। माना कि दोनों एक ही स्थान से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं तो बताइये कितने समय बाद दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
23. सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
24. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
25. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक 3 से विभाज्य है।
26. सिद्ध कीजिए कि 7 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
27. सिद्ध कीजिए कि 3 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।
28. यदि p अभाज्य धनात्मक पूर्णांक संख्या है तो सिद्ध कीजिए √p एक अपरिमेय संख्या है।
29. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 और 967 को विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 प्राप्त होते हैं।
30. प्रमाणित कीजिए कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।
31. सिद्ध कीजिए कि √7 एक अपरिमेय संख्या है।
32. एक संगोष्ठी में हिन्दी, अंग्रेजी और गणित में भाग लेने वाले प्रतिभागियों की संख्या क्रमशः 60, 84 तथा 108 है। यदि प्रत्येक कमरे में बराबर संख्या में एक ही विषय के प्रतिभागी बैठाये जाते हैं, तो आवश्यक कमरों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
33. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 2053 को इस प्रकार विभाजित करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।
Important questions
बहुपद
1. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
3. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
4. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
5. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
6. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
7. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
x² + (√3 + 1)x + √3
8. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
9. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
10. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
11. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
12. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
13. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
14. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
15. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
16. द्विघात समीकरण kx – 5x + k = 0 के मूल वास्तविक तथा बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
17. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
18. बहुपद f(x) = 3x4 + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √(5/3) और –√(5/3) हैं।
19. 16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है।
20. निम्न द्विघात समीकरण में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हो।
2x² + kx + 3 = 0
21. दो बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक x³ – 6x² + 3x + 10 है तथा महत्तम समापवर्तक (x + 1) है। यदि एक बहुपद x² – 4x + 5 है तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए।
समान्तर श्रेणी
1. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
2. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
3. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
4. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
5. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
6. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
7. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
8. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
9. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
10. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
11. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
12. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
An = 7 – 3n
13. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
14. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
15. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
16. एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय तथा तृतीय पद क्रमशः 14 तथा 18 हैं।
17. एक टेलीविजन सेटों का निर्माता, तीसरे वर्ष 600 टी. वी. तथा सातवें वर्ष में 700 टी. वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए –
(1) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(2) 10 वें वर्ष में उत्पादन
(3) 7 वर्षों में कुल उत्पादन
18. 32 को चार ऐसे भागों में विभाजित कीजिए कि चारों भाग समान्तर श्रेढ़ी में हो तथा प्रथम व अन्तिम संख्याओं का गुणनफल मध्य संख्याओं के गुणनफल से 7 : 15 के अनुपात में हो।
19. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
20. समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12 ........ के 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
21. समान्तर श्रेढ़ी (–5) + (–8) + (–11) + -------------+ (–230) का योगफल ज्ञात कीजिए।
22. समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद An = 9 – 5n है।
23. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
2. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
3. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
4. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
5. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
6. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
7. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
8. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
3x – 2y ≤ x + y – 8
9. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
10. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
11. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
x + y = 10 तथा x – y = 12
12. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
13. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
14. दी असमिका | x – y | ≥ 1 के हल समुच्चय को छायांकित कीजिए।
15. दिए गए समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
त्रिकोणमितीय अनुपात
1. मान ज्ञात कीजिए –
3sin²30° + 2cos²45° + 3tan²60°
2. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए –
√3tan2x = sin30° + sin45°cos45° + 2sin90°
3. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए –
sin3x = 3sinx – 4sin³x
4. यदि tanΦ = 1 हो, तो cosΦ का मान ज्ञात कीजिए।
5. 2tan²45° + cos²30° – sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
6. सिद्ध कीजिए –
4sin30°sin²60° + 3cos60°tan45° = 2sec²45° – cosec²90°
7. cosec²30° – 3sec60° का मान ज्ञात कीजिए।
8. सिद्ध कीजिए कि
cosec²45°sec²30°sin³90°cos60° = 4/3
9. यदि tanA = √3 हो तो sinA का मान ज्ञात कीजिए।
10. 2sin45°cos45° का मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि sinα = ½ और cosβ = ½ हो, तो (α + β) का माप ज्ञात कीजिए।
12. सिद्ध कीजिए कि
2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
13. यदि cosecΦ = 2/√3 हो तो Φ का मान π के पदों में लिखिए।
14. सिद्ध कीजिए कि
(1 – sin45° + sin30°)(1 + cos45° + cos60°) = 7/4
15. सिद्ध कीजिए –
4cot²45° – sec²60° – sin²30° = –1/4
16. (tan60° – tan30°)/(1 + tan60°tan30°) का मान ज्ञात कीजिए।
17. मान ज्ञात कीजिए –
2tan30°/(1 – tan²30°)
18. सिद्ध कीजिए कि –
(sin60° + sin30°)/(sin60° – sin30°) = (tan60° + tan45°)/(tan60° – tan45°)
19. यदि A = 45° हो तो (1 – cos2A)/sin2A का मान ज्ञात कीजिए।
20. यदि A = 30° हो तो (1 – 2sin²A) /sinA का मान ज्ञात कीजिए।
21. cos45°/(sec30° + cosec30°) का मान ज्ञात कीजिए।
22. यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए –
cot(A – B) = (cotAcotB + 1)/(cotB – cotA)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
1. tan52°tan38° का मान ज्ञात कीजिए।
2. cos²12° + cos²78° का मान ज्ञात कीजिए।
3. निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए –
cosec(90 – α) + xcosαcot(90 – α) = sin(90 – α)
4. यदि ∠A < 90° एवं ∠B < 90° और sinA = cosB हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
5. यदि sec5A = cosec(A – 36°) यहाँ 5A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
6. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
7. 4sin18°sec72° का मान लिखिए।
8. दिखाइए कि tan36°tan17°tan54°tan73° = 1
9. यदि cos3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
10. tan39° – cot51° का मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि tan2A = cot(A – 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
12. sin²50° + sin²40° का मान ज्ञात कीजिए।
13. सिद्ध कीजिए tan15°tan20°tan70°tan75° = 1
14. sin81° + sin71° को 0° से 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि
sin35°sin55° – cos25°cos55° = 0
16. यदि tanA = cotB तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
17. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि
sinA(1 + tanA) + cosA(1 + cotA) = cosecA + secA
19. सिद्ध कीजिए कि
sin²AcosA + tanAsinA + cos³A = secA
20. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(q² – 1) = 2p
21. सिद्ध कीजिए कि
√(sec²A + cosec²A) = tanA + cotA
22. सिद्ध कीजिए कि
cotA + tanA = cosecAsecA
23. cosecA को secA के पदों में लिखिए।
24. sinA को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
25. सिद्ध कीजिए कि
(secA + tanA) (1 – sinA) = cosA
26. यदि tanA + sinA = m तथा tanA – sinA = n, तो सिद्ध कीजिए m² – n² = 4√(mn)
27. सिद्ध कीजिए कि
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
28. सिद्ध कीजिए कि
sinA/(1 + cosA) + (1 + cosA)/sinA = 2cosecA
29. सिद्ध कीजिए
cos(90° – A)cosA/tanA + cos²(90° – A) = 1
30. यदि secA + tanA = p हो, तो सिद्ध करो कि (p² – 1)/(p² + 1) = sinA
31. सिद्ध कीजिए (cos²A)² + (sin²A)² = 1 – 2cos²Asin²A
ऊँचाई और दूरी
1. यदि एक मीनार की परछाई की लम्बाई मीनार की ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
2. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
3. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
4. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
6. एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
7. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
8. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने - सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
9. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
10. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
11. एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
12. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नताश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो।
13. आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( √3 = 1.732 )
14. 100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित है कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में है। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
15. 50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
16. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हो यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो। ( √3 = 1.732 )
17. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
18. धरातल के एक बिन्दु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 मीटर पर उड़ रहा हो तो हवाई जहाज की गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
19. एक समतल जमीन पर 1.5 मीटर लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई 1 मीटर है तथा उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
20. एक पहाड़ी का ढलान क्षैतिज से 60° का कोण बनाता है। यदि शिखर तक पहुँचने में 500 मीटर चलना पड़ता है तो पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात करो।
21. किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नयन कोण समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15° है स्तम्भ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( जहाँ tan15° = 2 – √3 है)
22. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° है। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
निर्देशांक ज्यामिति
1. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
2. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
4. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
5. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
6. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
7. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
8. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
9. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
10. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
11. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
12. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
13. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
14. यदि A तथा B क्रमशः (–2, –2) और (2, –4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि 7AP = 3AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
15. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
16. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
17. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, –2), (–2, 1) और (5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
18. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–4, 4) और (7, 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
19. x - अक्ष बिन्दुओं A(3, –5) और B(–4, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
20. ज्ञात कीजिए कि रेखा x + y = 4 , बिन्दु (–1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
21. बिन्दुओं (2, –3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखाखण्ड y - अक्ष से किस अनुपात में विभाजित होता है ?
बिन्दुपथ
1. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
2. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
3. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
4. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
5. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
6. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
7. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
8. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
9. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
10. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
11. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
12. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
13. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
14. परिकेन्द्र किसे कहते हैं ?
15. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
16. बिन्दुपथ किसे कहते हैं ?
17. त्रिभुज के तीनों शीर्षों एवं तीनों भुजाओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
18. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
19. एक ΔABC में, माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 2(AD + BE) > 3AB
20. ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, BC का मध्य बिन्दु D है। सिद्ध कीजिए कि परिकेन्द्र, अन्त:केन्द्र, लम्बकेन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित है।
21. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
22. एक ΔABC की माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AG = 5 सेमी., BE = 12 सेमी. और FG = 3 सेमी. हो तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
23. सिद्ध कीजिए कि A और B बिन्दुओं से होकर जाने वाले वृत्तों के केन्द्रों का बिन्दुपथ रेखाखण्ड AB का लम्बअर्द्धक है।
24. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
25. ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती हैं ।
(a) यदि GF = 4 सेमी. हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AD = 7.5 सेमी. हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
26. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
27. यदि किसी त्रिभुज की माध्यिकाएं एक ही बिन्दु से गुजरती हैं तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 में विभाजित करता है।
28. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
29. एक उभयनिष्ठ आधार BC पर रेखा BC के विपरीत ओर दो समद्विबाहु त्रिभुज ΔPBC और ΔQBC स्थित है। सिद्ध कीजिए कि P और Q को मिलाने वाली रेखा BC को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
30. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों शीर्ष लम्ब संगामी होते हैं।
31. एक उभयनिष्ठ आधार QR पर एक ही ओर दो समद्विबाहु त्रिभुज PQR और SQR स्थित है। सिद्ध कीजिए कि SP रेखा QR की लम्बअर्द्धक है।
32. एक कोण ABC की भुजा BA और BC से समदूरस्थ तथा कोण ABC के अन्तःभाग में किसी बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
33. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग उसकी तीनों माध्यिकाओं के योग से अधिक होता है।
34. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 4(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA)
समरूपता
1. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL. (ii) DL/DP = AL/DC
2. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
3. एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC एवं DBC बने हैं। यदि AD व BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए –
ΔABC का क्षेत्रफल /ΔDBC का क्षेत्रफल = AO/DO
4. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
5. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
6. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई एक रेखा त्रिभुज की शेष दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे तो यह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
7. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
9. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
10. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
11. यदि ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी है, यदि EF = 15.4 सेमी हो तो BC ज्ञात कीजिए।
12. ΔABC की भुजाओं AB एवं AC पर बिन्दु D और E इस प्रकार है कि DE || BC है एवं AD = 8 सेमी, AB = 12 सेमी तथा AE = 12 सेमी हो तो CE का मान ज्ञात करो।
13. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
14. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
15. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
17. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
18. आयत ABCD के अन्दर स्थित O कोई बिन्दु है, सिद्ध कीजिए –
OB² + OD² = OA² + OC²
19. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
EX/BE = 1/2 है।
20. ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD और DA पर क्रमशः P, Q, R एवं S बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि ये चतुर्भुज के शीर्ष A व C के सापेक्ष इन्हें समत्रिभाजित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
21. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
22. सिद्ध करो कि यदि कोई एक रेखा किसी त्रिभुज के एक आन्तरिक कोण का समद्विभाजन करे तो वह समद्विभाजक रेखा उस कोण की सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं की लम्बाइयों के अनुपात में विभाजित करती है।
23. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
24. सिद्ध करो कि त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाने पर बनने वाले बहिष्कोण का समद्विभाजक कोण की सम्मुख भुजा बाह्य विभाजन त्रिभुज की शेष दोनों भुजाओं के अनुपात में करता है।
25. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
26. एक रेखाखण्ड XY, त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर है तथा त्रिभुज को दो समान भागों में बांटती है। अनुपात AX/AB ज्ञात कीजिए।
27. सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों में कोई संगत दो भुजाएँ परस्पर समानुपाती हो तथा उनके मध्य के कोण बराबर हो तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
28. सिद्ध करो कि यदि दो त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज परस्पर समरूप होते हैं।
29. CD और RS क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएं है। यदि ΔABC ~ ΔPQR हो तो सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔADC ~ ΔPSR
(ii) CD/RS = AB/PQ
30. सिद्ध कीजिए कि दो समानकोणिक त्रिभुज, परस्पर समरूप होते हैं।
31. BE और CF एक समकोण ΔABC की माध्यिकाएं है तथा इस त्रिभुज का कोण A समकोण है। सिद्ध कीजिए
4(BE² + CF²) = 5BC²
32. एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
33. किसी ΔABC के शीर्ष A से उसकी सम्मुख भुजा BC पर लम्ब डालने पर AD² = BD×DC प्राप्त होता है तो, सिद्ध कीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है।
वृत्त
1. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
2. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
4. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
5. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
6. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
7. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
8. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
9. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या लिखिए।
10. यदि 16 सेमी लम्बाई की एक जीवा वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूरी पर है तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
12. वृत्त का केन्द्र वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
13. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
14. एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं के द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोणों में क्या सम्बन्ध होता है ?
15. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
16. सिद्ध कीजिए कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।
17. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती है ?
18. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है ?
19. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
20. सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज की एक भुजा बढ़ाने पर बनने वाला बहिष्कोण अपने अन्तराभिमुख कोण के बराबर हो, तो वह एक चक्रीय चतुर्भुज होता है।
21. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्म सम्पूरक या उनका योग 180° होता है।
22. यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है और इसकी एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
23. एक बिन्दु जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
1. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
2. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
3. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
4. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
∠BAC = 2∠OBC
5. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
6. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
7. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
8. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
9. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
10. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
11. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
12. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
13. एक वृत्त, एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि केन्द्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा अन्तरित कोण सम्पूरक होते हैं।
रचनाएँ
1. एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों ।
2. किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएं OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATB को मापिए।
3. दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की है, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर है।
4. 4.6 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए। क्या इसका परिकेन्द्र एवं अन्त:केन्द्र सम्पाती है? क्यों, कारण सहित बताइए।
5. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
6. 5 सेमी., 4.5 सेमी. एवं 7 सेमी. भुजाओं वाले त्रिभुज का परिकेन्द्र कहाँ स्थित होना चाहिए की पुष्टि रचना के द्वारा कीजिए। साथ ही इसके परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए।
7. 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
8. एक रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि MN = 4/5 ML
9. एक ΔABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी, ∠B = 40°, ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
10. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
11. एक रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी बनाइये। रेखाखण्ड AB पर एक बिन्दु C ऐसा ज्ञात कीजिए कि AC = ⅓AB. इसे सत्यापित भी कीजिए।
12. एक 2.8 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए, जिसके केन्द्र से 4.3 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन्हें मापकर दोनों बराबर है की जाँच कीजिए।
13. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
14. ΔABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए, जबकि BC = 5.8 सेमी, AB = 5 सेमी तथा ∠B = 55° हो।
15. दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएं 4 सेमी तथा 3 सेमी है तथा दोनों के केन्द्रों के बीच दूरी 6.5 सेमी है, की रचना कर उन पर एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल
1. किसी वृत्त की परिधि व त्रिज्या का अन्तर 74 सेमी है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2. एक वृत्त की परिधि एक वर्ग के परिमाप के बराबर है। यदि वर्ग का क्षेत्रफल 484 वर्ग मीटर हो तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
3. एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
4. यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5. एक घड़ी के घण्टे की सुई 6 सेमी. लम्बी है। 90 मिनट में इस सुई द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
6. एक वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा मार्ग बना हुआ है। मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए –
(i) चाप की लम्बाई
(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
8. एक वृत्ताकार खेत पर 24 रु. प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5280 रु. है। इस खेत की 0.50 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
9. एक अर्धवृत्ताकार प्लाट की त्रिज्या 21 मीटर है। इसका क्षेत्रफल व परिमाप ज्ञात कीजिए।
10. 56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे ABCD के AB व CD भुजा पर दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गयी है। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्द्र बगीचे के विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है, तो बगीचे और क्यारियों के क्षेत्रफल का योग ज्ञात कीजिए।
11. 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
12. किसी वृत्त का व्यास समबाहु त्रिभुज की भुजा के बराबर है, तो बताइये कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
13. एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 सेमी. है। 66 किमी. /घण्टा की चाल रखने के लिए, पहिये को प्रति मिनट कितने चक्कर लगाने चाहिए ?
14. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण बनाती है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
15. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है यदि वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी है, तो संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
16. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में कोण 120° के संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
17. 4 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
18. एक वृत की त्रिज्या 7 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण 90° है, वृत के लघु त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई तथा उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
19. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
20. 28 सेमी व्यास वाले वृत की परिधि ज्ञात कीजिए।
21. 44 सेमी परिधि वाले वृत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
22. 100 चक्कर में एक स्कूटर का पहिया 88 मीटर की दूरी तय करता है। इस पहिये की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
23. एक वृत के चाप की लम्बाई 12 सेमी. और त्रिज्या 7 सेमी. है। वृत के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
24. एक वृत के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी. है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
1. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
2. एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई तथा त्रिज्या का अनुपात 7 : 4 है। यदि इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 792 वर्ग सेमी. हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. 42 सेमी. कोर के घन से बड़े से बड़ा लम्बवृत्तीय शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
4. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5. एक बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः 1650 घन सेमी. और 660 वर्ग सेमी. है। बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
6. धातु के एक गोले का व्यास 6 सेमी. है। गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ - परिच्छेद वाला तार बनाया गया है। यदि तार की लम्बाई 36 मीटर हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
7. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक-तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
8. पानी से भरी हुई एक अर्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मीटर है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जाएगी ?
9. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 19 सेमी. है तथा विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी. है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
10. एक शंकु की ऊँचाई 28 सेमी. तथा आधार की त्रिज्या 21 सेमी. है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
11. तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. और 1 सेमी. हैं। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
12. 7 सेमी. व्यास वाला एक गोला पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। बर्तन के आधार का व्यास 14 सेमी. है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो, तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा ?
13. दो लम्बवृत्तीय बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 तथा ऊँचाइयों का अनुपात 5 : 4 है, तो दोनों बेलनों के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
14. 6 सेमी. व्यास का एक गोला 12 सेमी. व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है, डाला जाता है। बर्तन में पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा ?
15. 9 मीटर ऊँचे शंकु के आकार के टेन्ट के आधार की परिधि 44 मीटर है। इसके अन्दर की वायु का आयतन ज्ञात कीजिए।
16. एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm. × 10 cm. × 3.5 cm. हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm. है और गहराई 1.4 cm. है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
17. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 : 2 है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी.² है तो उसकी कोरों की माप ज्ञात कीजिए।
18. यदि घनाभ की लम्बाई 12 मीटर, चौड़ाई 9 मीटर तथा ऊँचाई 8 मीटर है, तो इसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।
19. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
20. एक घनाभ की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 6 सेमी है। इस घनाभ को पिघलाकर 3 सेमी वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं ?
21. एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 सेमी² है तथा इसकी ऊँचाई 15 सेमी है, इसका वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
22. एक माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी है। इस तरह की 12 डिब्बियों के एक पैकिट का आयतन क्या होगा ?
23. 1 सेमी व्यास तथा 5 सेमी लम्बे चाँदी के बेलनाकार टुकड़े से 1 मिमी व्यास के खींचकर बनाए गये तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
24. एक कमरे की लम्बाई 5 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर व ऊँचाई 4 मीटर है। 20 रुपये प्रति वर्गमीटर की दर से चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
25. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 27 सेमी³ है, तो संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
26. घन के एक पृष्ठ का परिमाप 28 सेमी है, तो घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
27. 4.2 सेमी. त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 7 सेमी. त्रिज्या वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
28. 10 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले से समान त्रिज्या के 8 गोले बनाए जाते हैं। इस प्रकार बने प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
29. एक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या 12 सेमी और कोण 120° है। इसकी सीधी कोरों को सम्पाती करके एक शंकु बनाया जाता है। इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
30. 14 सेमी भुजा के एक घन से बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
31. 1 सेमी त्रिज्या और 2 सेमी लम्बी ताँबे की एक छड़ को एक समान चौड़ाई वाले 18 मीटर लम्बे एक तार के रूप में बदला जाता है। तार की मोटाई ज्ञात कीजिए।
32. एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 1232 सेमी³ तथा ऊँचाई 24 सेमी है। इसकी तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
33. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्गसेमी है तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
34. धातु के तीन घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी., 4 सेमी., 5 सेमी. है। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। इस घन की कोर की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
35. बगैर ढक्कन का एक बक्सा 3 सेमी. मोटी लकड़ी का बना हुआ है। इसकी बाहरी लम्बाई 146 सेमी., चौड़ाई 116 सेमी. और ऊँचाई 83 सेमी. है। उसके अन्दर की ओर पेन्ट कराने का खर्च ज्ञात कीजिए। पेन्ट की दर 2 रु. प्रति 1000 वर्ग सेमी. है।
36. 44 मीटर लम्बी, 1.5 मीटर ऊँची और 85 सेमी. चौड़ी दीवार बनाने में 22 सेमी. × 10 सेमी. × 7 सेमी. माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी ?
37. एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 1 : 3 है। यदि बेलन का आयतन 3234 सेमी³ है तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
38. 20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया। इससे निकली मिट्टी से 22 मी. × 14 मी. माप का एक चबूतरा बनाया गया। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
39. किसी शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 5 : 12 और आयतन 2512 घन सेमी है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
40. एक शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या 10 सेमी और ऊँचाई 18 सेमी है। यह पानी से पूरा भरा हुआ है। इसे 5 सेमी त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में उड़ेला जाता है। बेलनाकार बर्तन में पानी के तल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
41. एक बेलन सीसे का बना हुआ है जिसकी त्रिज्या 4 सेमी व ऊँचाई 10 सेमी है। इसे पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं ?
42. 9 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई के कितने शंकु बनाए जा सकते हैं।
43. एक सीसे के ठोस आयत फलकी की माप क्रमशः 66 सेमी, 42 सेमी और 21 सेमी है। ज्ञात कीजिए कि इसको पिघलाकर इससे 4.2 सेमी व्यास की कितनी गोलियां बनाई जा सकती है।
44. 9 सेमी. की अन्तःत्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में एक द्रव भरा है। इस द्रव को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई के छोटे-छोटे बेलनाकार बर्तनों में भरना है। ज्ञात कीजिए कि कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी ?
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