बिन्दुपथ, वृत्त व स्पर्श रेखाएँ

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बिन्दुपथ
Q. 1. एक त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AD = 9 सेमी, GE = 4.2 सेमी और GC = 6 सेमी, तो AG, BE और FG की लम्बाइयों का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 2. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 3. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
Q. 4. दो बिन्दुओं में से होकर गुजरने वाले वृत्तों के केन्द्रों का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 5. एक त्रिभुज की दो माध्यिकाएं समान हो तो सिद्ध करो कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
Q. 6. दो दिए गए बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ क्या होता है?
Q. 7. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 8. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
Q. 9. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 10. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
       (1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
        (2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
Q. 11. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
Q. 12. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
Q. 13. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 14. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
Q. 15. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
Q. 16. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
Q. 17. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
Q. 18. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 19. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
Q. 20. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
Q. 21. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
Q. 22. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
Q. 23. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 24. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
Q. 25. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
Q. 26. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
Q. 27. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
Q. 28. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
Q. 29. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
Q. 30. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
वृत्त
Q. 1. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की दो भुजाएँ समान्तर हो, तो सिद्ध कीजिए कि शेष भुजाएँ बराबर होगी और विकर्ण भी बराबर होंगे।
Q. 2. वृत्त के केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाओं का अनुपात लिखिए।
Q. 3. 10 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त में, दो जीवाएँ AB = AC = 12 सेमी हों, तो जीवा BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Q. 4. किसी अर्द्धवृत्त में बना कोण क्या कहलाता है ?
Q. 5. सिद्ध करो कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
Q. 6. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
Q. 7. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
Q. 8. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
Q. 9. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
Q. 10. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
Q. 11. एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
Q. 12. सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत के केन्द्र से होकर गुजरता है।
Q. 13. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠ADC = ∠BCD है। सिद्ध कीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Q. 14. यदि दो वृत्त, एक दूसरे को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लम्ब समद्विभाजक होती है।
Q. 15. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
Q. 16. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
Q. 17. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 18. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
Q. 19. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
Q. 20. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
Q. 21. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
Q. 1. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
Q. 2. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श-रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Q. 3. एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श-रेखा की लम्बाई 15 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 17 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 4. सिद्ध करो कि वृत्त के बहार स्थित बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लम्बाई की होगी।
Q. 5. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी  हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
Q. 6. एक O केन्द्र वाला वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को अन्तःस्पर्श करता है यदि AB को स्पर्श बिन्दु 3 : 1 भागों में विभाजित करे तथा AB = 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q. 7. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
Q. 8. किसी वृत्त के केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु P से खींची हुई स्पर्श रेखाएँ PA व PB वृत्त को क्रमशः A व B पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है।
Q. 9. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
Q. 10. एक वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = BC + DA.
Q. 11. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
Q. 12. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
Q. 13. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
Q. 14. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
        ∠BAC = 2∠OBC
Q. 15. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
Q. 16. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
Q. 17. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
Q. 18. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
Q. 19. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो  ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
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