राजस्थान सेकण्डरी बोर्ड परीक्षा उपयोगी प्रश्न
विषय : गणित
Important Questions
Model Paper
वैदिक गणित
1. पूर्ण वर्ग संख्या 389376 का द्वन्द्व योग विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
2. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा 85 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
3. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 95 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
4. 98765 ÷ 87 ध्वजांक विधि से भाग ज्ञात कीजिए।
5. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा समीकरण (5x – 3)/2 = (2x + 1)/5 का मौखिक हल ज्ञात कीजिए।
6. सूत्र निखिलम् का प्रयोग करते हुए 54 × 56 का मान ज्ञात कीजिए।
7. 966×973 का सूत्र ऊर्ध्वतिर्यक + विनकुलम प्रयोग द्वारा गुणन ज्ञात कीजिए।
8. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा समीकरण 13x – 14 = 9x + 10 का मौखिक हल कीजिए।
9. 842×858 में सरलता से गुणनफल देने वाले श्रेष्ठ सूत्र का चयन कीजिए।
10. द्वन्द्व योग द्वारा 4312 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
11. सूत्र संकलन - व्यवकलन द्वारा 89 का वर्ग ज्ञात कीजिए
12. 46×99 सूत्र एकन्यूनेन पूर्वेण द्वारा गुणा कीजिए।
13. संख्या 97 का सूत्र निखिलम् द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।
( सूत्र : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3(विचलन)²/(विचलन)³
14. सूत्र निखिलम् द्वारा 15 का घनफल ज्ञात कीजिए।
15. सूत्र शून्यं साम्य समुच्चये द्वारा समीकरण 1/(x–4) + 1/(x–6) = 1/(x–2) + 1/(x–8) का हल ज्ञात कीजिए।
16. वैदिक विधि द्वारा 660776311 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
17. 362 का द्वन्द्व योग द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
18. 115 का सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
19. सूत्र 'एकाधिकेन पूर्वेण' विधि द्वारा निम्न संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(1) 588 × 512
(2) 103 × 197
(3) 31⅓ × 31⅔
20. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा निम्न 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
21. 211 का उपसूत्र यावदूनी तावदूनी द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
संकेत : (संख्या)² = उपाधार अंक ( संख्या + विचलन) / (विचलन)²
22. सूत्र निखिलम् द्वारा संख्या 14 का घनफल ज्ञात कीजिए।
संकेत : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3 (विचलन)² / (विचलन)³
23. 15 का घनफल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए।
24. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 17 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
25. सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण द्वारा 56 × 99 को हल कीजिए।
26. इष्ट संख्या विधि से 12 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
27. सूत्र निखिलम् विधि द्वारा 2112 ÷ 97 को हल कीजिए।
28. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) 3y + 4 = 5y – 4
(2) (2x + 1)/(3x + 4) = 1/3
(3) 5/(x + 1) + 3/(x + 2) = 0
29. सूत्र शून्य साम्य समुच्चये द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) (x + 1)(x + 9) = (x + 3)(x + 3)
(2) a(x – 1) + b(x – 1) = c(x – 1) + d(x – 1)
(3) x/2 + x/3 = x/4 + x/1
(4) 1/(x + a) + 1/(x +b) = 0
(5) 1/(x – 1) + 1/(x – 4) = 1/(x – 2) + 1/(x – 3)
(6) 1/(x + 1) – 1/(x + 3) = 1/(x + 2) – 1/(x + 4)
(7) (5x + 7)/(2x + 1) = (x + 1)/(3x + 5)
(8) 1/(x – 1) – 2/(x + 1) = 0
(9) 1/(x + 4) + 1/(x – 6) = 0
(10) 5/(3x + 2) + 5/(2x + 8) = 0
30. परममित्र अंक किसे कहते हैं ?
31. निम्नलिखित पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल 'द्वन्द्व योग' विधि से ज्ञात कीजिए।
(1) 59049
(2) 125316
32. 68921 का भागविधि से घनमूल ज्ञात कीजिए।
संख्या पद्धति
1. पाँच घण्टियाँ 2, 4, 6, 8 और 10 सेकण्ड के अन्तराल से बजती हैं तथा वे एक साथ बजना प्रारम्भ होती है तो बताइये 20 मिनट में वे कितनी बार साथ बजेंगी ?
2. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H. C. F ज्ञात कीजिए।
3. दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप का होता है। जहाँ q कोई पूर्णांक है।
4. प्रमाणित कीजिए कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।
5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 2053 को इस प्रकार विभाजित करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।
6. संख्या - युग्म 420, 130 का यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।
7. उस बड़े से बड़े धनात्मक पूर्णांक को ज्ञात कीजिये जो 396, 436 और 542 को विभाजित करने के पश्चात शेषफल क्रमशः 5, 11 और 15 रहता है।
8. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक शून्य पर समाप्त हो सकती है ?
9. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 852, 1065 तथा 1491 को भाग दिया जाए तो शेषफल शून्य प्राप्त हो।
10. यदि a और 18 का ल. स. 36 हो तथा a और 18 का म. स. 2 हो, तो a का मान क्या होगा?
11. सिद्ध कीजिए कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
12. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए
(a) 12, 51, 21. (b) 6, 72, 120
13. परिमेय संख्या 37/(2 × 5²) के दशमलव प्रसार में दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अंत होगा ?
14. परिमेय संख्या 17/8 को बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये दशमलव प्रसार सांत में लिखिए।
15. परिमेय संख्या 14588/625 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
16. निम्नलिखित संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
3825
17. संख्या 49/500 के दशमलव प्रसार लिखिए।
18. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
24, 15 तथा 36
19. संख्या 3/625 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती। इसे दशमलव के रूप में लिखें।
20. 95 और 152 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
21. यदि H. C. F. ( 306, 657 ) = 9, तो L. C. M. ( 306, 657 ) ज्ञात कीजिए।
22. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया बताइए कि परिमेय संख्या 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है अथवा असांत।
23. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि परिमेय संख्या 129/(2² × 5³ × 7³) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
24. यदि p/q, ( q ≠ 0 ) एक परिमेय संख्या है, तो q पर क्या प्रतिबन्ध होगा, जबकि p/q एक सांत दशमलव हो ?
25. 4050 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
26. परिमेय संख्या 34.12345 के हर को अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में लिखिए।
27. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 247 और 2055 को इस प्रकार विभाजन करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 प्राप्त हो।
28. एक आयताकार बरामदा 18 मी. 72 सेमी. लम्बा तथा 13 मी. 20 सेमी. चौड़ा है। इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी है। इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
29. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q + 1 के रूप में होता है जहां q एक धनात्मक पूर्णांक है।
30. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक को 1032x – 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
31. दर्शाइये कि √2 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
32. किसी खेल के मैदान के वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में रमन को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में अनुप्रिया को 12 मिनट का समय लगता है। माना कि दोनों एक ही स्थान से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं तो बताइये कितने समय बाद दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
33. सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
34. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। ।
बहुपद
1. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण √3x² + 10x + 7√3 = 0 को हल कीजिए।
2. द्विघात बहुपद 3x² + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
3. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
4. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण 4x² – 4a²x + (a4 – b4) = 0 को हल कीजिए।
5. द्विघात समीकरण 1/x – 1/(x–2) = 3, x ≠ 0, 2 के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
6. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
7. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः – ¼ व ¼ हैं।
8. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
9. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
10. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
11. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
12. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
13. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
14. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
x² + (√3 + 1)x + √3
15. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
16. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
17. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
18. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
19. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
20. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
21. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
22. द्विघात समीकरण kx – 5x + k = 0 के मूल वास्तविक तथा बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
23. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
24. बहुपद f(x) = 3x4 + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √(5/3) और –√(5/3) हैं।
25. 16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है।
26. निम्न द्विघात समीकरण में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हो।
2x² + kx + 3 = 0
27. दो बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक x³ – 6x² + 3x + 10 है तथा महत्तम समापवर्तक (x + 1) है। यदि एक बहुपद x² – 4x + 5 है तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए।
समान्तर श्रेणी
1. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 31 हो तथा 15वाँ पद, 11वें पद से 16 अधिक हो, तो प्रथम पद तथा सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
2. समान्तर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ........., 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
3. समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27, 39, ...... का कौनसा पद 639 है ?
4. यदि समान्तर श्रेणी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो, तो दर्शाइए कि mn पदों का योग ½(mn + 1) होगा।
5. उस A. P. के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 3 + 4n है।
6. योगफल ज्ञात कीजिए 3 + 11 + 19 + ............ + 803
7. एक समान्तर श्रेणी के पहले 51 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय और तृतीय पद क्रमशः 14 व 18 है।
8. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
9. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
10. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
11. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
12. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
13. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
14. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
15. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
16. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
17. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
18. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
19. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
An = 7 – 3n
20. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
21. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
22. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
23. एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय तथा तृतीय पद क्रमशः 14 तथा 18 हैं।
24. एक टेलीविजन सेटों का निर्माता, तीसरे वर्ष 600 टी. वी. तथा सातवें वर्ष में 700 टी. वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए –
(1) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(2) 10 वें वर्ष में उत्पादन
(3) 7 वर्षों में कुल उत्पादन
25. 32 को चार ऐसे भागों में विभाजित कीजिए कि चारों भाग समान्तर श्रेढ़ी में हो तथा प्रथम व अन्तिम संख्याओं का गुणनफल मध्य संख्याओं के गुणनफल से 7 : 15 के अनुपात में हो।
26. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
27. समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12 ........ के 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
28. समान्तर श्रेढ़ी (–5) + (–8) + (–11) + -------------+ (–230) का योगफल ज्ञात कीजिए।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
2x – y = 4; x + y = –1
2. पाँच वर्ष पश्चात, किसी पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का तीन गुना होगी। पाँच वर्ष पूर्व, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का सात गुना थी, तब उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
3. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए 2x + 3y = 13 तथा 5x – 2y = 4 इसकी सहायता से a का मान ज्ञात करो। जबकि 5x – 3y = a है।
5. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
6. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
8. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
9. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
10. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
11. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
12. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
3x – 2y ≤ x + y – 8
13. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
14. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
15. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
x + y = 10 तथा x – y = 12
16. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
17. दी असमिका | x – y | ≥ 1 के हल समुच्चय को छायांकित कीजिए।
18. दिए गए समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
त्रिकोणमितीय अनुपात
1. यदि cosecA = 2/√3 हो तो A का मान है।
2. मान ज्ञात कीजिए –
3sin²30° + 2cos²45° + 3tan²60°
3. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए –
√3tan2x = sin30° + sin45°cos45° + 2sin90°
4. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए –
sin3x = 3sinx – 4sin³x
5. यदि tanΦ = 1 हो, तो cosΦ का मान ज्ञात कीजिए।
6. 2tan²45° + cos²30° – sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए –
4sin30°sin²60° + 3cos60°tan45° = 2sec²45° – cosec²90°
8. cosec²30° – 3sec60° का मान ज्ञात कीजिए।
9. सिद्ध कीजिए कि
cosec²45°sec²30°sin³90°cos60° = 4/3
10. यदि tanA = √3 हो तो sinA का मान ज्ञात कीजिए।
11. 2sin45°cos45° का मान ज्ञात कीजिए।
12. यदि sinα = ½ और cosβ = ½ हो, तो (α + β) का माप ज्ञात कीजिए।
13. सिद्ध कीजिए कि
2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
14. यदि cosecΦ = 2/√3 हो तो Φ का मान π के पदों में लिखिए।
15. सिद्ध कीजिए कि
(1 – sin45° + sin30°)(1 + cos45° + cos60°) = 7/4
16. सिद्ध कीजिए –
4cot²45° – sec²60° – sin²30° = –1/4
17. (tan60° – tan30°)/(1 + tan60°tan30°) का मान ज्ञात कीजिए।
18. मान ज्ञात कीजिए –
2tan30°/(1 – tan²30°)
19. सिद्ध कीजिए कि –
(sin60° + sin30°)/(sin60° – sin30°) = (tan60° + tan45°)/(tan60° – tan45°)
20. यदि A = 45° हो तो (1 – cos2A)/sin2A का मान ज्ञात कीजिए।
21. यदि A = 30° हो तो (1 – 2sin²A) /sinA का मान ज्ञात कीजिए।
22. cos45°/(sec30° + cosec30°) का मान ज्ञात कीजिए।
23. यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए –
cot(A – B) = (cotAcotB + 1)/(cotB – cotA)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
1. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
(sin4A – cos4 A)/(sin²A – cos²A) = 1
2. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
(1+sinA)/cosA + cosA/(1+sinA) = 2secA
3. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
secA(1–sinA)(secA+tanA) = 1
4. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cos²A + cos²Acot²A = cot²A
5. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
cos37°/sin53°
6. सिद्ध कीजिए कि
√[(1–sinA)/(1+sinA)] = secA – tanA
7.सिद्ध कीजिए –
cosec²A + sec²A = cosec²Asec²A
8. सिद्ध कीजिए cos4A + sin4A = 1 – 2cos²Asin²A
9. निम्नलिखित को सर्वसमिका की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cotA – tanA = (1–2sin²A)/sinAcosA
10. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
cosec25° – sec65°
11. यदि cosA/cosB = m तथा cosA/sinB = n हो तो सिद्ध कीजिए
(m² + n²)cos²B = n²
12. सिद्ध कीजिए
(cosecA – sinA) (secA – cosA) = 1/(tanA + cotA)
13. सिद्ध कीजिए
cosA/(1–tanA) + sinA/(1–cotA) = sinA + cosA
14. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA+tanA)(sinA–cosA)/(sec³–cosec³A) = sin²Acos²A
15. यदि sec5A = cosec(A – 36°) यहाँ 5A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध कीजिए कि
√(sec²A + cosec²A) = tanA + cotA
17. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA–cosecA)(1+tanA+secA) = 2
18. यदि tanA = 3/4 हो, तो (1–cosA)/(1+cosA) का मान ज्ञात कीजिए।
19. यदि sinA + cosA = √2 sin(90°–A) है, तो cotA का मान ज्ञात कीजिए।
20. tan49°/cot41° का मान ज्ञात कीजिए।
21. tan39° – cot51° का मान ज्ञात कीजिए।
22. सिद्ध कीजिए –
tan²A + cot²A + 2 = sec²A.cosec²A
23. सिद्ध कीजिए –
cos4A – cos²A = sin4A – sin²A
24. sin²50° + sin²40° का मान ज्ञात कीजिए।
25. सिद्ध कीजिए कि
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
26. सिद्ध कीजिए कि
√[(1 + cosA) /(1 – cosA)] = cosecA + cotA
27. सिद्ध कीजिए (sinA – 2sin³A)/(2cos³A – cosA) = tanA
28. यदि secA + tanA = p हो, तो सिद्ध करो कि (p² – 1)/(p² + 1) = sinA
29. सिद्ध कीजिए
(sinA+cosA)/(sinA–cosA) + (sinA–cosA)/(sinA+cosA) = 2/(1–2cos²A) = 2/(2sin²A–1)
30. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p
31. सिद्ध कीजिए कि
(1 + secA) /secA = sin²A/(1 – cosA)
32. सिद्ध कीजिए
cos²A/(1–tanA) + sin³A/(sinA–cosA) = 1 + sinAcosA
33. tan52°tan38° का मान ज्ञात कीजिए।
34. cos²12° + cos²78° का मान ज्ञात कीजिए।
35. निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए –
cosec(90 – α) + xcosαcot(90 – α) = sin(90 – α)
36. यदि ∠A < 90° एवं ∠B < 90° और sinA = cosB हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
37. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
38. 4sin18°sec72° का मान लिखिए।
39. दिखाइए कि tan36°tan17°tan54°tan73° = 1
40. यदि cos3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
41. यदि tan2A = cot(A – 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
42. सिद्ध कीजिए tan15°tan20°tan70°tan75° = 1
43. sin81° + sin71° को 0° से 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
44. सिद्ध कीजिए कि
sin35°sin55° – cos25°cos55° = 0
45. यदि tanA = cotB तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
46. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
47. सिद्ध कीजिए कि
sinA(1 + tanA) + cosA(1 + cotA) = cosecA + secA
48. सिद्ध कीजिए कि
sin²AcosA + tanAsinA + cos³A = secA
49. सिद्ध कीजिए कि
cotA + tanA = cosecAsecA
50. cosecA को secA के पदों में लिखिए।
51. sinA को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
52. सिद्ध कीजिए कि
(secA + tanA) (1 – sinA) = cosA
53. यदि tanA + sinA = m तथा tanA – sinA = n, तो सिद्ध कीजिए m² – n² = 4√(mn)
54. सिद्ध कीजिए कि
sinA/(1 + cosA) + (1 + cosA)/sinA = 2cosecA
55. सिद्ध कीजिए
cos(90° – A)cosA/tanA + cos²(90° – A) = 1
56. सिद्ध कीजिए कि [(1+tan²A)/(1+cot²A)] = [(1–tanA)(1–cotA)]² = tan²A
57. सिद्ध कीजिए (tanα + tanβ)/(cotα + cotβ) = tanαtanβ
58. सिद्ध कीजिए
√[(secA + 1)/(secA – 1)] = cotA + cosecA
59. सिद्ध कीजिए
(cotA + cosecA – 1)/(cotA – cosecA + 1) = (1 + cosA) /sinA
60. सिद्ध कीजिए
tan²A – tan²B = (cos²B – sin²A) /(cos²Bcos²A) = (sin²A – sin²B)/(cos²Acos²B)
61. सरल कीजिए
(1+tan²A)/(1+cot²A)
62. सिद्ध कीजिए (sin³A)² + (cos³A)² = 1 – 3sin³Acos²A
63. यदि A, B और C किसी त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हो तो सिद्ध कीजिए
tan[(B+C)/2] = cot(A/2)
64. सिद्ध कीजिए कि (cos²A)² – (sin²A)² = 1 – 2sin²A = 2cos²A – 1
65. सिद्ध कीजिए कि sinA/(1 – cosA) = (1 + cosA)/sinA
66. सिद्ध कीजिए कि
1/(1 + sinA) + 1/(1 – sinA) = 2sec²A
67. सिद्ध कीजिए कि
tan(90°–A)cotA/cosec²A – cos²A = 0
68. मान ज्ञात कीजिए
sin36°/cos54° – sin54°/cos36°
69. मान ज्ञात कीजिए
(sin35°/cos55°)² + (cos55°/sin35°)² – 2cos60°
70. सिद्ध कीजिए कि
sinAcos(90–A)cosA/sec(90–A) + cosAsin(90–A)/cosecA = sinAcosA
71. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए –
(sinA+cosA)/(sinA–cosA) + (sinA–cosA)/(sinA+cosA) = 2/(sin²A–cos²A)
72. सिद्ध कीजिए कि
cos70°/sin20° + cos59°/sin31° – 8sin²30° = 0
ऊँचाई और दूरी
1. यदि किसी मीनार के आधार से a तथा b ( a > b) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° व 60° हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
2. एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : √3 हो तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा?
3. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
4. 10 m ऊँची मीनार से एक कार का अवनमन कोण 45° है कार की मीनार के पाद से दूरी ज्ञात करो।
5. एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
6. एक स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण आधार तल के एक बिन्दु पर 60° है। यदि यह बिन्दु स्तम्भ के आधार बिन्दु से 10√3 मीटर की दूरी पर हो तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
7. 100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित है कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में है। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
8. 50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
9. एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ तेज हवा से इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूने लगता है और जमीन के साथ 60° का कोण बनाता है। ज्ञात करें कि तेज हवा से पेड़, जमीन से कितनी ऊँचाई से टूटा है ?
10. 10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी क्या होगी ?
11. 10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
12. यदि किसी वृक्ष की लम्बाई 7√3 मीटर है तथा उसकी छाया की लम्बाई 7 मीटर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा।
13. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° है। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
14. यदि एक मीनार की परछाई की लम्बाई मीनार की ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
15. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
16. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
17. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
18. एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
19. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
20. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने - सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
21. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
22. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
23. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नताश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो।
24. आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( √3 = 1.732 )
25. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हो यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो। ( √3 = 1.732 )
26. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
27. धरातल के एक बिन्दु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 मीटर पर उड़ रहा हो तो हवाई जहाज की गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
निर्देशांक ज्यामिति
1. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
2. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, a), (–a, –a) तथा (–√3a, √3a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
3. यदि बिन्दुओं (3, k) तथा (k, 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियां बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
4. यदि समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष A(–2, –1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) हों, तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
6. यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a हो, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
7. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः ( acosA, bsinA) और ( – asinA, bcosA) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि OP² + OQ² = a² + b², जहाँ O मूल बिन्दु है।
8. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष क्रमशः (–1, 0), (3, 1) तथा (2, 2) हैं। तब चतुर्भुज का चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
9. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
10. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
11. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
12. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
13. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
14. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
15. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
16. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
17. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
18. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
19. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
20. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
21. यदि A तथा B क्रमशः (–2, –2) और (2, –4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि 7AP = 3AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
22. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
23. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, –2), (–2, 1) और (5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
24. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–4, 4) और (7, 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
बिन्दुपथ
1. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
(1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
(2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
2. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
3. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
4. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
5. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
6. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
7. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
8. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
9. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
10. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
11. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
12. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
13. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
14. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
15. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
16. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
17. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
18. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
19. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
20. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
21. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
22. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
23. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
24. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
25. परिकेन्द्र किसे कहते हैं ?
26. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
27. बिन्दुपथ किसे कहते हैं ?
28. त्रिभुज के तीनों शीर्षों एवं तीनों भुजाओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
29. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
30. एक ΔABC में, माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 2(AD + BE) > 3AB
31. ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, BC का मध्य बिन्दु D है। सिद्ध कीजिए कि परिकेन्द्र, अन्त:केन्द्र, लम्बकेन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित है।
32. एक ΔABC की माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AG = 5 सेमी., BE = 12 सेमी. और FG = 3 सेमी. हो तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
समरूपता
1. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
2. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
3. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
4. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
5. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
6. ΔABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि BD = CE है। यदि ㄥB = ㄥC हो तो दर्शाइए DE || BC
7. 12 मीटर लम्बाई वाले उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 8 मीटर है उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 56 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
8. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज AB || DC है। असमान्तर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E और F इस प्रकार स्थित है कि EF भुजा AB के समान्तर है दर्शाइए कि AE/ED = BF/FC.
10. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
12. किसी ΔABC में DE || BC है यदि AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 और EC = x – 1 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
13. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
14. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करेगी।
15. ΔABC में DE || BC है तथा AD/DB = 3/5 है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
16. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
17. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
18. ΔABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण ∠B = 90° है। माना कि D और E क्रमशः AB एवं BC पर दो बिन्दु स्थित है। सिद्ध कीजिए AE² + CD² = AC² + DE²
19. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
20. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL. (ii) DL/DP = AL/DC
21. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
22. एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC एवं DBC बने हैं। यदि AD व BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए –
ΔABC का क्षेत्रफल /ΔDBC का क्षेत्रफल = AO/DO
23. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(ii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
24. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
25. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई एक रेखा त्रिभुज की शेष दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे तो यह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
26. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
27. यदि ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी है, यदि EF = 15.4 सेमी हो तो BC ज्ञात कीजिए।
28. आयत ABCD के अन्दर स्थित O कोई बिन्दु है, सिद्ध कीजिए –
OB² + OD² = OA² + OC²
29. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
EX/BE = 1/2 है।
30. सिद्ध करो कि यदि कोई एक रेखा किसी त्रिभुज के एक आन्तरिक कोण का समद्विभाजन करे तो वह समद्विभाजक रेखा उस कोण की सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं की लम्बाइयों के अनुपात में विभाजित करती है।
वृत्त
1. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
2. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
3. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
4. एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
5. सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत के केन्द्र से होकर गुजरता है।
6. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠ADC = ∠BCD है। सिद्ध कीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
7. यदि दो वृत्त, एक दूसरे को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लम्ब समद्विभाजक होती है।
8. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
9. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
10. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
12. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
13. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
14. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या लिखिए।
15. यदि 16 सेमी लम्बाई की एक जीवा वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूरी पर है तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
17. वृत्त का केन्द्र वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
18. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
19. एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं के द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोणों में क्या सम्बन्ध होता है ?
20. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
21. सिद्ध कीजिए कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।
22. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है ?
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
1. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
2. एक O केन्द्र वाला वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को अन्तःस्पर्श करता है यदि AB को स्पर्श बिन्दु 3 : 1 भागों में विभाजित करे तथा AB = 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
4. किसी वृत्त के केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु P से खींची हुई स्पर्श रेखाएँ PA व PB वृत्त को क्रमशः A व B पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है।
5. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
6. एक वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = BC + DA.
7. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
8. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
9. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
10. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
11. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
∠BAC = 2∠OBC
12. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
13. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
14. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
15. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
16. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
17. एक वृत्त, एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि केन्द्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा अन्तरित कोण सम्पूरक होते हैं।
रचनाएँ
1. 4.6 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए। क्या इसका परिकेन्द्र एवं अन्त:केन्द्र सम्पाती है? क्यों, कारण सहित बताइए।
2. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
3. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
4. एक 3.2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए उस पर दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती है।
5. 8 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिये। A को केन्द्र मानकर 3 सेमी का एक वृत्त खींचिये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म खींचिये।
6. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाकर केन्द्र O पर OA व OB त्रिज्याएं परस्पर 120° कोण बनाती है की रचना कर A व B पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
7. एक 2.8 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए, जिसके केन्द्र से 4.3 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन्हें मापकर दोनों बराबर है की जाँच कीजिए।
8. एक ΔABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी, ∠B = 40°, ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
9. एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों ।
10. किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएं OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATB को मापिए।
11. दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की है, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर है।
12. 5 सेमी., 4.5 सेमी. एवं 7 सेमी. भुजाओं वाले त्रिभुज का परिकेन्द्र कहाँ स्थित होना चाहिए की पुष्टि रचना के द्वारा कीजिए। साथ ही इसके परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए।
13. 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
14. एक रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि MN = 4/5 ML
15. एक रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी बनाइये। रेखाखण्ड AB पर एक बिन्दु C ऐसा ज्ञात कीजिए कि AC = ⅓AB. इसे सत्यापित भी कीजिए।
16. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
17. ΔABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए, जबकि BC = 5.8 सेमी, AB = 5 सेमी तथा ∠B = 55° हो।
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विषय : गणित
Important Questions
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वैदिक गणित
1. पूर्ण वर्ग संख्या 389376 का द्वन्द्व योग विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
2. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा 85 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
3. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 95 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
4. 98765 ÷ 87 ध्वजांक विधि से भाग ज्ञात कीजिए।
5. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा समीकरण (5x – 3)/2 = (2x + 1)/5 का मौखिक हल ज्ञात कीजिए।
6. सूत्र निखिलम् का प्रयोग करते हुए 54 × 56 का मान ज्ञात कीजिए।
7. 966×973 का सूत्र ऊर्ध्वतिर्यक + विनकुलम प्रयोग द्वारा गुणन ज्ञात कीजिए।
8. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा समीकरण 13x – 14 = 9x + 10 का मौखिक हल कीजिए।
9. 842×858 में सरलता से गुणनफल देने वाले श्रेष्ठ सूत्र का चयन कीजिए।
10. द्वन्द्व योग द्वारा 4312 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
11. सूत्र संकलन - व्यवकलन द्वारा 89 का वर्ग ज्ञात कीजिए
12. 46×99 सूत्र एकन्यूनेन पूर्वेण द्वारा गुणा कीजिए।
13. संख्या 97 का सूत्र निखिलम् द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।
( सूत्र : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3(विचलन)²/(विचलन)³
14. सूत्र निखिलम् द्वारा 15 का घनफल ज्ञात कीजिए।
15. सूत्र शून्यं साम्य समुच्चये द्वारा समीकरण 1/(x–4) + 1/(x–6) = 1/(x–2) + 1/(x–8) का हल ज्ञात कीजिए।
16. वैदिक विधि द्वारा 660776311 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
17. 362 का द्वन्द्व योग द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
18. 115 का सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
19. सूत्र 'एकाधिकेन पूर्वेण' विधि द्वारा निम्न संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(1) 588 × 512
(2) 103 × 197
(3) 31⅓ × 31⅔
20. सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा निम्न 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
21. 211 का उपसूत्र यावदूनी तावदूनी द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।
संकेत : (संख्या)² = उपाधार अंक ( संख्या + विचलन) / (विचलन)²
22. सूत्र निखिलम् द्वारा संख्या 14 का घनफल ज्ञात कीजिए।
संकेत : घनफल = संख्या + 2 × विचलन / 3 (विचलन)² / (विचलन)³
23. 15 का घनफल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए।
24. उपसूत्र यावदूनम द्वारा 17 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
25. सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण द्वारा 56 × 99 को हल कीजिए।
26. इष्ट संख्या विधि से 12 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
27. सूत्र निखिलम् विधि द्वारा 2112 ÷ 97 को हल कीजिए।
28. सूत्र परावर्त्य योजयेत द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) 3y + 4 = 5y – 4
(2) (2x + 1)/(3x + 4) = 1/3
(3) 5/(x + 1) + 3/(x + 2) = 0
29. सूत्र शून्य साम्य समुच्चये द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए।
(1) (x + 1)(x + 9) = (x + 3)(x + 3)
(2) a(x – 1) + b(x – 1) = c(x – 1) + d(x – 1)
(3) x/2 + x/3 = x/4 + x/1
(4) 1/(x + a) + 1/(x +b) = 0
(5) 1/(x – 1) + 1/(x – 4) = 1/(x – 2) + 1/(x – 3)
(6) 1/(x + 1) – 1/(x + 3) = 1/(x + 2) – 1/(x + 4)
(7) (5x + 7)/(2x + 1) = (x + 1)/(3x + 5)
(8) 1/(x – 1) – 2/(x + 1) = 0
(9) 1/(x + 4) + 1/(x – 6) = 0
(10) 5/(3x + 2) + 5/(2x + 8) = 0
30. परममित्र अंक किसे कहते हैं ?
31. निम्नलिखित पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल 'द्वन्द्व योग' विधि से ज्ञात कीजिए।
(1) 59049
(2) 125316
32. 68921 का भागविधि से घनमूल ज्ञात कीजिए।
संख्या पद्धति
1. पाँच घण्टियाँ 2, 4, 6, 8 और 10 सेकण्ड के अन्तराल से बजती हैं तथा वे एक साथ बजना प्रारम्भ होती है तो बताइये 20 मिनट में वे कितनी बार साथ बजेंगी ?
2. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H. C. F ज्ञात कीजिए।
3. दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप का होता है। जहाँ q कोई पूर्णांक है।
4. प्रमाणित कीजिए कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।
5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 2053 को इस प्रकार विभाजित करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।
6. संख्या - युग्म 420, 130 का यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।
7. उस बड़े से बड़े धनात्मक पूर्णांक को ज्ञात कीजिये जो 396, 436 और 542 को विभाजित करने के पश्चात शेषफल क्रमशः 5, 11 और 15 रहता है।
8. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक शून्य पर समाप्त हो सकती है ?
9. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 852, 1065 तथा 1491 को भाग दिया जाए तो शेषफल शून्य प्राप्त हो।
10. यदि a और 18 का ल. स. 36 हो तथा a और 18 का म. स. 2 हो, तो a का मान क्या होगा?
11. सिद्ध कीजिए कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
12. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए
(a) 12, 51, 21. (b) 6, 72, 120
13. परिमेय संख्या 37/(2 × 5²) के दशमलव प्रसार में दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अंत होगा ?
14. परिमेय संख्या 17/8 को बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये दशमलव प्रसार सांत में लिखिए।
15. परिमेय संख्या 14588/625 के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत है।
16. निम्नलिखित संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
3825
17. संख्या 49/500 के दशमलव प्रसार लिखिए।
18. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
24, 15 तथा 36
19. संख्या 3/625 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती। इसे दशमलव के रूप में लिखें।
20. 95 और 152 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
21. यदि H. C. F. ( 306, 657 ) = 9, तो L. C. M. ( 306, 657 ) ज्ञात कीजिए।
22. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया बताइए कि परिमेय संख्या 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है अथवा असांत।
23. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि परिमेय संख्या 129/(2² × 5³ × 7³) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
24. यदि p/q, ( q ≠ 0 ) एक परिमेय संख्या है, तो q पर क्या प्रतिबन्ध होगा, जबकि p/q एक सांत दशमलव हो ?
25. 4050 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
26. परिमेय संख्या 34.12345 के हर को अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में लिखिए।
27. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 247 और 2055 को इस प्रकार विभाजन करती है कि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 प्राप्त हो।
28. एक आयताकार बरामदा 18 मी. 72 सेमी. लम्बा तथा 13 मी. 20 सेमी. चौड़ा है। इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी है। इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
29. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q + 1 के रूप में होता है जहां q एक धनात्मक पूर्णांक है।
30. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक को 1032x – 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
31. दर्शाइये कि √2 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
32. किसी खेल के मैदान के वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में रमन को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में अनुप्रिया को 12 मिनट का समय लगता है। माना कि दोनों एक ही स्थान से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं तो बताइये कितने समय बाद दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
33. सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
34. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। ।
बहुपद
1. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण √3x² + 10x + 7√3 = 0 को हल कीजिए।
2. द्विघात बहुपद 3x² + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
3. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
4. गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण 4x² – 4a²x + (a4 – b4) = 0 को हल कीजिए।
5. द्विघात समीकरण 1/x – 1/(x–2) = 3, x ≠ 0, 2 के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
6. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।
7. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः – ¼ व ¼ हैं।
8. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है।
9. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 व 1/3 हैं।
10. बहुपद f(x) = x³ – 3x² + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 प्राप्त होता है, तो बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
11. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
12. निम्न बहुपद के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए –
f(x) = 2x4 –3x³ – 3x² + 6x – 2 ; √2 और –√2
13. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हो।
14. निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए –
x² + (√3 + 1)x + √3
15. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x4 –3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
16. 3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः 3x + 10 तथा 16x – 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
17. बहुपद f(x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म विधि से विभाजित कीजिए तथा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिये।
18. बहुपद x³ – 6x² + 11x – 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए जबकि इसके दो शून्यक 1 तथा 2 है।
19. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
20. यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
21. दो द्विघात व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्त्य क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
22. द्विघात समीकरण kx – 5x + k = 0 के मूल वास्तविक तथा बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
23. यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² – 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
24. बहुपद f(x) = 3x4 + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √(5/3) और –√(5/3) हैं।
25. 16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है।
26. निम्न द्विघात समीकरण में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हो।
2x² + kx + 3 = 0
27. दो बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक x³ – 6x² + 3x + 10 है तथा महत्तम समापवर्तक (x + 1) है। यदि एक बहुपद x² – 4x + 5 है तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए।
समान्तर श्रेणी
1. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 31 हो तथा 15वाँ पद, 11वें पद से 16 अधिक हो, तो प्रथम पद तथा सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
2. समान्तर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ........., 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
3. समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27, 39, ...... का कौनसा पद 639 है ?
4. यदि समान्तर श्रेणी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो, तो दर्शाइए कि mn पदों का योग ½(mn + 1) होगा।
5. उस A. P. के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 3 + 4n है।
6. योगफल ज्ञात कीजिए 3 + 11 + 19 + ............ + 803
7. एक समान्तर श्रेणी के पहले 51 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय और तृतीय पद क्रमशः 14 व 18 है।
8. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 25 – 2n है।
9. 2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
10. समान्तर श्रेणी 10, 7, 4, ......, – 62 के अंतिम पद से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
11. समान्तर श्रेणी 1, 4, 7, 10, .........., 88 में अंत से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
12. यदि an = 9 – 5n एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिए।
13. A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
14. समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ........ का 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
15. चार संख्याएं समान्तर श्रेणी में है। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएं ज्ञात कीजिए।
16. यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
17. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
18. योगफल ज्ञात कीजिए : 7 + 10½ + 14 + ---------- + 84.
19. किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है –
An = 7 – 3n
20. किसी समान्तर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा ?
21. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएं 7 से विभाज्य है ?
22. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद 1/n तथा n वाँ पद 1/m हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का mn वाँ पद 1 के बराबर होगा।
23. एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें द्वितीय तथा तृतीय पद क्रमशः 14 तथा 18 हैं।
24. एक टेलीविजन सेटों का निर्माता, तीसरे वर्ष 600 टी. वी. तथा सातवें वर्ष में 700 टी. वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए –
(1) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(2) 10 वें वर्ष में उत्पादन
(3) 7 वर्षों में कुल उत्पादन
25. 32 को चार ऐसे भागों में विभाजित कीजिए कि चारों भाग समान्तर श्रेढ़ी में हो तथा प्रथम व अन्तिम संख्याओं का गुणनफल मध्य संख्याओं के गुणनफल से 7 : 15 के अनुपात में हो।
26. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
27. समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12 ........ के 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
28. समान्तर श्रेढ़ी (–5) + (–8) + (–11) + -------------+ (–230) का योगफल ज्ञात कीजिए।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएं
1. निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
2x – y = 4; x + y = –1
2. पाँच वर्ष पश्चात, किसी पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का तीन गुना होगी। पाँच वर्ष पूर्व, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु का सात गुना थी, तब उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
3. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
3x + 2y – 11 = 0 तथा 2x – 3y + 10 = 0
4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए 2x + 3y = 13 तथा 5x – 2y = 4 इसकी सहायता से a का मान ज्ञात करो। जबकि 5x – 3y = a है।
5. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y – अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए -
4x – 5y = 20 ; 3x + 5y = 15
6. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x + 3y = a है।
x + 3y = 6 ; 2x – 3y = 12
7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
2x – 5y + 4 = 0 ; 2x + y – 8 = 0
8. रैखिक समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिये। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
9. निम्न रैखिक समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए –
x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
10. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y – अक्ष को काटती हैं।
3x + 2y = 12 ; 5x – 2y = 4
11. निम्न रैखिक समीकरण के युग्मों की जाँच कीजिये कि युग्म संगत/ असंगत है। यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए –
2x + y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
12. निम्न असमिका का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
3x – 2y ≤ x + y – 8
13. असमिका 4x – 8 ≥ 0 का आलेखीय विधि से हल कीजिए।
14. रेखीय समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 और x – 2y = – 3 को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
15. निम्न समीकरण युग्म के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए –
x + y = 10 तथा x – y = 12
16. निम्न रैखिक युग्म समीकरण का आलेखीय विधि से हल कीजिए –
x – 2y = 7 तथा x + y = – 2
17. दी असमिका | x – y | ≥ 1 के हल समुच्चय को छायांकित कीजिए।
18. दिए गए समीकरण के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
x + y = 3 तथा 3x – 2y = 4
त्रिकोणमितीय अनुपात
1. यदि cosecA = 2/√3 हो तो A का मान है।
2. मान ज्ञात कीजिए –
3sin²30° + 2cos²45° + 3tan²60°
3. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए –
√3tan2x = sin30° + sin45°cos45° + 2sin90°
4. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए –
sin3x = 3sinx – 4sin³x
5. यदि tanΦ = 1 हो, तो cosΦ का मान ज्ञात कीजिए।
6. 2tan²45° + cos²30° – sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए –
4sin30°sin²60° + 3cos60°tan45° = 2sec²45° – cosec²90°
8. cosec²30° – 3sec60° का मान ज्ञात कीजिए।
9. सिद्ध कीजिए कि
cosec²45°sec²30°sin³90°cos60° = 4/3
10. यदि tanA = √3 हो तो sinA का मान ज्ञात कीजिए।
11. 2sin45°cos45° का मान ज्ञात कीजिए।
12. यदि sinα = ½ और cosβ = ½ हो, तो (α + β) का माप ज्ञात कीजिए।
13. सिद्ध कीजिए कि
2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
14. यदि cosecΦ = 2/√3 हो तो Φ का मान π के पदों में लिखिए।
15. सिद्ध कीजिए कि
(1 – sin45° + sin30°)(1 + cos45° + cos60°) = 7/4
16. सिद्ध कीजिए –
4cot²45° – sec²60° – sin²30° = –1/4
17. (tan60° – tan30°)/(1 + tan60°tan30°) का मान ज्ञात कीजिए।
18. मान ज्ञात कीजिए –
2tan30°/(1 – tan²30°)
19. सिद्ध कीजिए कि –
(sin60° + sin30°)/(sin60° – sin30°) = (tan60° + tan45°)/(tan60° – tan45°)
20. यदि A = 45° हो तो (1 – cos2A)/sin2A का मान ज्ञात कीजिए।
21. यदि A = 30° हो तो (1 – 2sin²A) /sinA का मान ज्ञात कीजिए।
22. cos45°/(sec30° + cosec30°) का मान ज्ञात कीजिए।
23. यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए –
cot(A – B) = (cotAcotB + 1)/(cotB – cotA)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
1. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
(sin4A – cos4 A)/(sin²A – cos²A) = 1
2. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
(1+sinA)/cosA + cosA/(1+sinA) = 2secA
3. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
secA(1–sinA)(secA+tanA) = 1
4. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cos²A + cos²Acot²A = cot²A
5. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
cos37°/sin53°
6. सिद्ध कीजिए कि
√[(1–sinA)/(1+sinA)] = secA – tanA
7.सिद्ध कीजिए –
cosec²A + sec²A = cosec²Asec²A
8. सिद्ध कीजिए cos4A + sin4A = 1 – 2cos²Asin²A
9. निम्नलिखित को सर्वसमिका की सहायता से सिद्ध कीजिए।
cotA – tanA = (1–2sin²A)/sinAcosA
10. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
cosec25° – sec65°
11. यदि cosA/cosB = m तथा cosA/sinB = n हो तो सिद्ध कीजिए
(m² + n²)cos²B = n²
12. सिद्ध कीजिए
(cosecA – sinA) (secA – cosA) = 1/(tanA + cotA)
13. सिद्ध कीजिए
cosA/(1–tanA) + sinA/(1–cotA) = sinA + cosA
14. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA+tanA)(sinA–cosA)/(sec³–cosec³A) = sin²Acos²A
15. यदि sec5A = cosec(A – 36°) यहाँ 5A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध कीजिए कि
√(sec²A + cosec²A) = tanA + cotA
17. सिद्ध कीजिए –
(1+cotA–cosecA)(1+tanA+secA) = 2
18. यदि tanA = 3/4 हो, तो (1–cosA)/(1+cosA) का मान ज्ञात कीजिए।
19. यदि sinA + cosA = √2 sin(90°–A) है, तो cotA का मान ज्ञात कीजिए।
20. tan49°/cot41° का मान ज्ञात कीजिए।
21. tan39° – cot51° का मान ज्ञात कीजिए।
22. सिद्ध कीजिए –
tan²A + cot²A + 2 = sec²A.cosec²A
23. सिद्ध कीजिए –
cos4A – cos²A = sin4A – sin²A
24. sin²50° + sin²40° का मान ज्ञात कीजिए।
25. सिद्ध कीजिए कि
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
26. सिद्ध कीजिए कि
√[(1 + cosA) /(1 – cosA)] = cosecA + cotA
27. सिद्ध कीजिए (sinA – 2sin³A)/(2cos³A – cosA) = tanA
28. यदि secA + tanA = p हो, तो सिद्ध करो कि (p² – 1)/(p² + 1) = sinA
29. सिद्ध कीजिए
(sinA+cosA)/(sinA–cosA) + (sinA–cosA)/(sinA+cosA) = 2/(1–2cos²A) = 2/(2sin²A–1)
30. यदि sinA + cosA = p और secA + cosecA = q हो, तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p
31. सिद्ध कीजिए कि
(1 + secA) /secA = sin²A/(1 – cosA)
32. सिद्ध कीजिए
cos²A/(1–tanA) + sin³A/(sinA–cosA) = 1 + sinAcosA
33. tan52°tan38° का मान ज्ञात कीजिए।
34. cos²12° + cos²78° का मान ज्ञात कीजिए।
35. निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए –
cosec(90 – α) + xcosαcot(90 – α) = sin(90 – α)
36. यदि ∠A < 90° एवं ∠B < 90° और sinA = cosB हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
37. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
38. 4sin18°sec72° का मान लिखिए।
39. दिखाइए कि tan36°tan17°tan54°tan73° = 1
40. यदि cos3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
41. यदि tan2A = cot(A – 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए।
42. सिद्ध कीजिए tan15°tan20°tan70°tan75° = 1
43. sin81° + sin71° को 0° से 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
44. सिद्ध कीजिए कि
sin35°sin55° – cos25°cos55° = 0
45. यदि tanA = cotB तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
46. यदि cos2A = sin4A हो और 2A व 4A न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
47. सिद्ध कीजिए कि
sinA(1 + tanA) + cosA(1 + cotA) = cosecA + secA
48. सिद्ध कीजिए कि
sin²AcosA + tanAsinA + cos³A = secA
49. सिद्ध कीजिए कि
cotA + tanA = cosecAsecA
50. cosecA को secA के पदों में लिखिए।
51. sinA को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
52. सिद्ध कीजिए कि
(secA + tanA) (1 – sinA) = cosA
53. यदि tanA + sinA = m तथा tanA – sinA = n, तो सिद्ध कीजिए m² – n² = 4√(mn)
54. सिद्ध कीजिए कि
sinA/(1 + cosA) + (1 + cosA)/sinA = 2cosecA
55. सिद्ध कीजिए
cos(90° – A)cosA/tanA + cos²(90° – A) = 1
56. सिद्ध कीजिए कि [(1+tan²A)/(1+cot²A)] = [(1–tanA)(1–cotA)]² = tan²A
57. सिद्ध कीजिए (tanα + tanβ)/(cotα + cotβ) = tanαtanβ
58. सिद्ध कीजिए
√[(secA + 1)/(secA – 1)] = cotA + cosecA
59. सिद्ध कीजिए
(cotA + cosecA – 1)/(cotA – cosecA + 1) = (1 + cosA) /sinA
60. सिद्ध कीजिए
tan²A – tan²B = (cos²B – sin²A) /(cos²Bcos²A) = (sin²A – sin²B)/(cos²Acos²B)
61. सरल कीजिए
(1+tan²A)/(1+cot²A)
62. सिद्ध कीजिए (sin³A)² + (cos³A)² = 1 – 3sin³Acos²A
63. यदि A, B और C किसी त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हो तो सिद्ध कीजिए
tan[(B+C)/2] = cot(A/2)
64. सिद्ध कीजिए कि (cos²A)² – (sin²A)² = 1 – 2sin²A = 2cos²A – 1
65. सिद्ध कीजिए कि sinA/(1 – cosA) = (1 + cosA)/sinA
66. सिद्ध कीजिए कि
1/(1 + sinA) + 1/(1 – sinA) = 2sec²A
67. सिद्ध कीजिए कि
tan(90°–A)cotA/cosec²A – cos²A = 0
68. मान ज्ञात कीजिए
sin36°/cos54° – sin54°/cos36°
69. मान ज्ञात कीजिए
(sin35°/cos55°)² + (cos55°/sin35°)² – 2cos60°
70. सिद्ध कीजिए कि
sinAcos(90–A)cosA/sec(90–A) + cosAsin(90–A)/cosecA = sinAcosA
71. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए –
(sinA+cosA)/(sinA–cosA) + (sinA–cosA)/(sinA+cosA) = 2/(sin²A–cos²A)
72. सिद्ध कीजिए कि
cos70°/sin20° + cos59°/sin31° – 8sin²30° = 0
ऊँचाई और दूरी
1. यदि किसी मीनार के आधार से a तथा b ( a > b) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° व 60° हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
2. एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : √3 हो तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा?
3. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
4. 10 m ऊँची मीनार से एक कार का अवनमन कोण 45° है कार की मीनार के पाद से दूरी ज्ञात करो।
5. एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
6. एक स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण आधार तल के एक बिन्दु पर 60° है। यदि यह बिन्दु स्तम्भ के आधार बिन्दु से 10√3 मीटर की दूरी पर हो तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
7. 100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित है कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में है। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
8. 50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
9. एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ तेज हवा से इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूने लगता है और जमीन के साथ 60° का कोण बनाता है। ज्ञात करें कि तेज हवा से पेड़, जमीन से कितनी ऊँचाई से टूटा है ?
10. 10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी क्या होगी ?
11. 10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
12. यदि किसी वृक्ष की लम्बाई 7√3 मीटर है तथा उसकी छाया की लम्बाई 7 मीटर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा।
13. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° है। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
14. यदि एक मीनार की परछाई की लम्बाई मीनार की ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
15. किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √(xy) है।
16. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
17. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
18. एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
19. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
20. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने - सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
21. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
22. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
23. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नताश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो।
24. आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( √3 = 1.732 )
25. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हो यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो। ( √3 = 1.732 )
26. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
27. धरातल के एक बिन्दु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 मीटर पर उड़ रहा हो तो हवाई जहाज की गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
निर्देशांक ज्यामिति
1. ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है ?
2. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, a), (–a, –a) तथा (–√3a, √3a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
3. यदि बिन्दुओं (3, k) तथा (k, 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियां बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
4. यदि समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष A(–2, –1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) हों, तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (–2, –1), (–1, 1), (5, –2) और (4, –4) एक आयत के शीर्ष हैं।
6. यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a हो, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
7. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः ( acosA, bsinA) और ( – asinA, bcosA) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि OP² + OQ² = a² + b², जहाँ O मूल बिन्दु है।
8. यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष क्रमशः (–1, 0), (3, 1) तथा (2, 2) हैं। तब चतुर्भुज का चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
9. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, –1) तथा (2, –1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
10. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, –2), B(0, 6) और C(–2, 4) हैं।
11. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, –3) और B(–3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
12. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, √3) हो, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
13. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
14. किसी समतल में चार बिन्दु P(2, –1), Q(3, 4), R(–2, 3) और S(–3, –2) है, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
15. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, –2), (3, 0), (1, 2) और (–1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
16. x - अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(6, 5) और B(–4, 5) से समदूरस्थ है।
17. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे AB = BC हो जाए, जबकि बिन्दु A, B तथा C क्रमशः (6, –1), (1, 3) और (x, 8) है।
18. यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
19. यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
20. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
21. यदि A तथा B क्रमशः (–2, –2) और (2, –4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि 7AP = 3AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
22. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, –1), (0, 4) तथा (–5, 3) हैं।
23. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, –2), (–2, 1) और (5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
24. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (–4, 4) और (7, 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
बिन्दुपथ
1. त्रिभुज ABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती है।
(1) यदि GF = 4 सेमी हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
(2) यदि AD = 7.5 सेमी हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
2. सिद्ध कीजिए यदि एक त्रिभुज की सभी माध्यिकाएं समान हों तो वह समबाहु त्रिभुज होगा।
3. वह त्रिभुज जिसके लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्त:केन्द्र सम्पाती हों, वह कैसा त्रिभुज होता है ?
4. घड़ी के पेन्डुलम के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
5. बिन्दुपथ की परिभाषा लिखिए।
6. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी और FG = 3 सेमी हो, तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
7. 10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त की त्रिज्याओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है ?
8. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या बताइए।
9. किसी दिए हुए आधार के एक ही ओर अन्तरित होने वाले समकोणों के शीर्षों का बिन्दुपथ लिखिए।
10. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक संगामी होते हैं अथवा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं।
11. 4 सेमी. आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इस त्रिभुजों के शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ क्या होता है।
12. सिद्ध कीजिए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक संगामी होते हैं।
13. वह त्रिभुज जिसका लम्ब केन्द्र त्रिभुज का शीर्ष बिन्दु होता है। उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं।
14. एक घड़ी में सैकण्ड की सुई के सिरे का बिन्दुपथ लिखिए।
15. दो समान्तर सरल रेखाओं से समान दूरी पर रहने वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
16. उस बिन्दु का बिन्दुपथ लिखिए जिसकी स्थिर बिन्दु M से दूरी सदा 5.3 सेमी. हो।
17. निम्न कथन को सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए –
"दो रेखाओं से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ दोनों रेखाओं के समान्तर रेखा होगी।"
18. 5 सेमी. आधार पर रचित समद्विबाहु त्रिभुजों में शीर्ष बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
19. समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ लिखिए।
20. त्रिभुज के अन्दर उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर हो।
21. उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समान दूरी पर हो और इनके प्रतिच्छेद बिन्दु संरेख हो।
22. एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जिसकी एक रेखा AB से दूरी सदैव 5 सेमी. हो।
23. तीन असंरेखीय बिन्दु A, B तथा C से होकर जाने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ निर्धारित कीजिए।
24. अन्त:केन्द्र किसे कहते हैं?
25. परिकेन्द्र किसे कहते हैं ?
26. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती हैं और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
27. बिन्दुपथ किसे कहते हैं ?
28. त्रिभुज के तीनों शीर्षों एवं तीनों भुजाओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
29. एक ΔABC में माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AG = 6 सेमी, BE = 9 सेमी और GF = 4.5 सेमी हो, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिए।
30. एक ΔABC में, माध्यिकाएं AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि 2(AD + BE) > 3AB
31. ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, BC का मध्य बिन्दु D है। सिद्ध कीजिए कि परिकेन्द्र, अन्त:केन्द्र, लम्बकेन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित है।
32. एक ΔABC की माध्यिकाएं AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती है। यदि AG = 5 सेमी., BE = 12 सेमी. और FG = 3 सेमी. हो तो AD, GE और GC ज्ञात कीजिए।
समरूपता
1. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = ⅓BC है तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB²
2. सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर बनने वाले चारों त्रिभुज अपने मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
3. सिद्ध करो कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
4. यदि ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है और AD लम्ब है BC पर तो सिद्ध कीजिए कि
AC² = AB² + BC² – 2BC×BD
5. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
6. ΔABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि BD = CE है। यदि ㄥB = ㄥC हो तो दर्शाइए DE || BC
7. 12 मीटर लम्बाई वाले उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 8 मीटर है उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 56 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
8. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
9. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज AB || DC है। असमान्तर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E और F इस प्रकार स्थित है कि EF भुजा AB के समान्तर है दर्शाइए कि AE/ED = BF/FC.
10. यदि ΔABC ~ ΔPQR हो ΔABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी² एवं ΔPQR का क्षेत्रफल = 9 सेमी² तथा AB = 2.1 सेमी हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध करो कि त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली माध्यिका के वर्ग एवं तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दुगुने के बराबर होता है।
12. किसी ΔABC में DE || BC है यदि AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 और EC = x – 1 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
13. समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL
14. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करेगी।
15. ΔABC में DE || BC है तथा AD/DB = 3/5 है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
16. एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि BP/BA = 1/√2 हो तो सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड PQ, ΔABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।
17. ΔABC में एक रेखा l जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई इस प्रकार निकलती है कि AD : DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं ΔADE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
18. ΔABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण ∠B = 90° है। माना कि D और E क्रमशः AB एवं BC पर दो बिन्दु स्थित है। सिद्ध कीजिए AE² + CD² = AC² + DE²
19. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
20. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएं तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए –
(i) DP/PL = DC/BL. (ii) DL/DP = AL/DC
21. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए AO/BO = CO/DO
22. एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC एवं DBC बने हैं। यदि AD व BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए –
ΔABC का क्षेत्रफल /ΔDBC का क्षेत्रफल = AO/DO
23. ΔABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित है, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(ii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
24. एक त्रिभुज ABC में DE || BC, AD = 1.5 सेमी., BD = 3 सेमी. तथा AE = 1 सेमी हो तो EC का मान ज्ञात करो।
25. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई एक रेखा त्रिभुज की शेष दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे तो यह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
26. सिद्ध कीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
27. यदि ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी है, यदि EF = 15.4 सेमी हो तो BC ज्ञात कीजिए।
28. आयत ABCD के अन्दर स्थित O कोई बिन्दु है, सिद्ध कीजिए –
OB² + OD² = OA² + OC²
29. ΔABC की भुजा BC के मध्य बिन्दु D है। यदि AD का समद्विभाजन करती हुई एक रेखा B से इस प्रकार खींची जाए कि वह भुजा AD को E पर काटते हुए AC को X पर काटे तो सिद्ध कीजिए –
EX/BE = 1/2 है।
30. सिद्ध करो कि यदि कोई एक रेखा किसी त्रिभुज के एक आन्तरिक कोण का समद्विभाजन करे तो वह समद्विभाजक रेखा उस कोण की सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं की लम्बाइयों के अनुपात में विभाजित करती है।
वृत्त
1. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
2. एक वृत्त के उस चाप का नाप लिखिए जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
3. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
4. एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
5. सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत के केन्द्र से होकर गुजरता है।
6. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠ADC = ∠BCD है। सिद्ध कीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
7. यदि दो वृत्त, एक दूसरे को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लम्ब समद्विभाजक होती है।
8. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को क्या कहते हैं ?
9. चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण दूसरे का 2/7 हो।
10. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक दूसरे के समान्तर है तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित है। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
12. एक वृत्त की दो जीवायें AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर है। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो उनके बीच की दूरी लिखिए।
13. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।
14. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या लिखिए।
15. यदि 16 सेमी लम्बाई की एक जीवा वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूरी पर है तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध कीजिए कि तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त जाता है।
17. वृत्त का केन्द्र वृत्त के किस भाग में स्थित होता है ?
18. सिद्ध कीजिए : किसी वृत्त की एक जीवा के मध्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
19. एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं के द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोणों में क्या सम्बन्ध होता है ?
20. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित होता है।
21. सिद्ध कीजिए कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।
22. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है ?
वृत्त एवं स्पर्श रेखा
1. ΔABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती है। यदि AN = 6 सेमी एवं CN = 8 सेमी हो तो ΔABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
2. एक O केन्द्र वाला वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को अन्तःस्पर्श करता है यदि AB को स्पर्श बिन्दु 3 : 1 भागों में विभाजित करे तथा AB = 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है ?
4. किसी वृत्त के केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु P से खींची हुई स्पर्श रेखाएँ PA व PB वृत्त को क्रमशः A व B पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है।
5. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती है ?
6. एक वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = BC + DA.
7. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
8. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
9. किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 8 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी ?
10. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
11. केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएं AB तथा AC खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि
∠BAC = 2∠OBC
12. सिद्ध करो कि यदि वृत्त की जीवा के एक सिरे पर एक रेखा इस प्रकार खींची जाए कि जीवा द्वारा इसके साथ बना कोण इसके एकान्तर वृत्तखण्ड में जीवा द्वारा बनाए कोण के बराबर हो, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
13. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जीवा से समान कोण बनाती है।
14. सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा से बनाए गए कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
15. यदि वृत्त पर 60° का कोण बनाते हुए दो स्पर्श रेखाएँ डाली जाती है और वृत्त पर उनके स्पर्श बिन्दुओं केन्द्र से मिलाएं तो वे केन्द्र पर कितना कोण अन्तरित करेंगी ?
16. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 40° के कोण पर झुकी हो तो ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।
17. एक वृत्त, एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि केन्द्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा अन्तरित कोण सम्पूरक होते हैं।
रचनाएँ
1. 4.6 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए। क्या इसका परिकेन्द्र एवं अन्त:केन्द्र सम्पाती है? क्यों, कारण सहित बताइए।
2. 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
3. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
4. एक 3.2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए उस पर दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती है।
5. 8 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिये। A को केन्द्र मानकर 3 सेमी का एक वृत्त खींचिये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म खींचिये।
6. एक 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाकर केन्द्र O पर OA व OB त्रिज्याएं परस्पर 120° कोण बनाती है की रचना कर A व B पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
7. एक 2.8 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए, जिसके केन्द्र से 4.3 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन्हें मापकर दोनों बराबर है की जाँच कीजिए।
8. एक ΔABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी, ∠B = 40°, ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँच कीजिए।
9. एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों ।
10. किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएं OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATB को मापिए।
11. दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की है, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर है।
12. 5 सेमी., 4.5 सेमी. एवं 7 सेमी. भुजाओं वाले त्रिभुज का परिकेन्द्र कहाँ स्थित होना चाहिए की पुष्टि रचना के द्वारा कीजिए। साथ ही इसके परिगत वृत्त की भी रचना कीजिए।
13. 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
14. एक रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि MN = 4/5 ML
15. एक रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी बनाइये। रेखाखण्ड AB पर एक बिन्दु C ऐसा ज्ञात कीजिए कि AC = ⅓AB. इसे सत्यापित भी कीजिए।
16. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
17. ΔABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए, जबकि BC = 5.8 सेमी, AB = 5 सेमी तथा ∠B = 55° हो।
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